众所周知
,所以我们只需要求出m!和n!(m-n)!。
但是由于n和m都偏大，直接乘一定会爆掉（喜闻乐见(●'◡'●)）。所以我们首先想到的是边乘边模，但是尝试了一组数据后我们神奇地发现答案不对。
但是我们知道另一种定理，n!%p=n!边乘边模的逆元。
所以这时候我们可以利用逆元来解决这个问题。
而逆元可以运用扩展欧几里得的方法求得。
下面我们给出欧几里得算法的证明:
首先我们设k为gcd(a,b)，则a=km，b=kn。
则a%b=a-c*b=km-c*kn=(m-cn)k
gcd(b,a%b)=gcd(kn,(m-cn)k)
由于k为a，b的最大公约数，所以n与m-cn互质，所以gcd(b,a%b)=gcd(a,b)=k。
知道了欧几里得算法，我们可以对其进行延伸得到了扩展欧几里得算法：
对于任意两个互质的a,b，总有gcd(a,b)=ax+by,扩展欧几里得算法可以用来求解
x，y。求法：
根据欧几里得算法可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
则bx‘+(a%b)y'=gcd(a,b)
将a%b=a-(a/b)*b带入得
ay'+b(x'-(a/b)*y')=gcd(a,b)
对于a，b而言，他们对应的x,y则分别为y',(x'-(a/b)*y')。
而当b=0时，a*1+b*0=gcd(a,b)。
知道了这些后，此题就变得非常简单了，但是仍有需要注意的地方。
一：要防止逆元为负数的情况发生。
二：要注意因子中含有p的倍数，这样变成边模后结果就会变成0.
对于第一种情况，我们很好解决。对于第二种情况，我们可以先记录因子可以整除p几次后记录，将能整除的除去，剩下的就乘进去取模。
如果分母中的因子可以整除p的次数和与分子中的相等的话，就照原来的方法输出，否则输出0。
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代码如下
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #define LL long long 4 using namespace std; 5 LL extgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y) 6 { 7 if(b!=0) 8 { 9 LL d=extgcd(b,a%b,y,x); 10 y-=(a/b)*x; 11 return d; 12 } 13 else 14 { 15 x=1,y=0; 16 return a; 17 } 18 } 19 int main() 20 { 21 LL m,n,p; 22 cin>>m>>n>>p; 23 LL a=1,b=1,c=1; 24 LL ka=0,kb=0,kc=0; 25 for(int i=1;i<=m;i++) 26 { 27 int temp=i; 28 while(temp%p==0) 29 { 30 temp/=p; 31 ka++; 32 } 33 a=(a*temp)%p; 34 } 35 for(int i=1;i<=n;i++) 36 { 37 int temp=i; 38 while(temp%p==0) 39 { 40 temp/=p; 41 kb++; 42 } 43 b=(b*temp)%p; 44 } 45 for(int i=1;i<=m-n;i++) 46 { 47 int temp=i; 48 while(temp%p==0) 49 { 50 temp/=p; 51 kc++; 52 } 53 c=(c*temp)%p; 54 } 55 LL x1,x2,y; 56 extgcd(b,p,x1,y); 57 x1=(x1%p+p)%p; 58 extgcd(c,p,x2,y); 59 x2=(x2%p+p)%p; 60 a=((a*x1)%p)*x2%p; 61 if(ka==kb+kc) cout<<a; 62 else cout<<0; 63 }