威尔逊定理给出当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )
充分性证明：
如果“p”不是素数，那么它的正因数必然包含在整数1, 2, 3, 4, … ,p− 1 中，因此gcd((p− 1)!,p) > 1，所以我们不可能得到(p− 1)! ≡ −1 (mod p)。
必要性证明：
取集合A={1,2,3,...,p-1};则任意i属于A,且存在j属于A,使得：(ij)恒等于1(mod p)
设x*a ≡ 1 (mod p)。
除了x=a时，a*a≡1 (mod p)，
(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),
a=1或a=p-1 ，不成立。
其他情况都可以找到对应的a。
所以（p-1）！≡1*（p-1）（mod p）≡-1 (mod p)