拓扑排序（Toposort）

摘自：https://blog.csdn.net/qq_35644234/article/details/60578189

《图论算法》

1、拓扑排序的介绍

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
拓扑排序对应施工的流程图具有特别重要的作用，它可以决定哪些子工程必须要先执行，哪些子工程要在某些工程执行后才可以执行。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。

通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。

在AOV网络中，如果存在有向边<u,v>则活动u必须在活动v之前进行，则称u是v的直接前驱(Immediate Predecessor)，v是u的直接后继（Immediate Successor）。如果存在<u,u1,u2,u3,u4,u5...un,v>则称u是v的前驱，v是u的后继。

这种前驱和后继具有传递性，例如v2是v1的前驱，v3是v2的前驱，同样v3也是v1的前驱。另外这种活动不能将自己作为自己的前驱或者后继，这种特性是反自反性质。

一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行（对于数据流来说就是死循环）。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。

2、拓扑排序的实现步骤

    在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出
    从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（白话就是：删除所有和它有关的边）
    重复上述两步，直至所有顶点输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后者代表我们的有向图是有环的，因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

3、拓扑排序示例手动实现

如果我们有如下的一个有向无环图，我们需要对这个图的顶点进行拓扑排序，过程如下：

首先，我们发现V6和v1是没有前驱的，所以我们就随机选去一个输出，我们先输出V6，删除和V6有关的边，得到如下图结果：

然后，我们继续寻找没有前驱的顶点，发现V1没有前驱，所以输出V1，删除和V1有关的边，得到下图的结果： 

然后，我们又发现V4和V3都是没有前驱的，那么我们就随机选取一个顶点输出（具体看你实现的算法和图存储结构），我们输出V4，得到如下图结果： 

然后，我们输出没有前驱的顶点V3，得到如下结果： 

然后，我们分别输出V5和V2，最后全部顶点输出完成，该图的一个拓扑序列为：

v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2

 

 

通过邻接矩阵来实现的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int ans[510][510];///邻接矩阵，记录二者是否有关联
int n,indegree[510];///记录节点个数
int queue[510];///保存拓扑
void topsort()
{
    int i,j,top,k=0;
    for(j=0; j<n; ++j)///遍历n次
    {
        for(i=1; i<=n; ++i)
        {
            if(indegree[i]==0)///找到入度为0的节点
            {
                top=i;
                break;
            }
        }
        queue[k++]=top;///当前第一名入队列，也可以直接输出
        indegree[top]=-1;///该节点的入度更新为-1，避免重复入队列
        for(i=1; i<=n; ++i)
        {
            if(ans[top][i])///删除与该店关联的边
                indegree[i]--;
        }
    }
    for(i=0; i<k-1; ++i)
        printf("%d ",queue[i]);
    printf("%d
",queue[n-1]);
}

int main()
{
    int i,a,b,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(indegree,0,sizeof(indegree));///数组初始化为0
        memset(ans,0,sizeof(ans));///数组初始化为0
        for(i=0; i<m; ++i)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(ans[a][b]==0)
            {
                ans[a][b]=1;///二者有关联
                indegree[b]++;///记录前驱数量
            }
        }
        topsort();
    }
    return 0;
}