线性代数学习笔记—

这几天和高中最好的同学聚了一下，也稍微的放纵了一下，导致缓了几天才恢复元气，在7月底的一天匆匆附上一篇笔记，里面有部分内容参考了CSDN的一位博主：

线性方程组

系数矩阵A为方程组左边系数构成的矩阵。
增广系数矩阵：(overline{A})为系数矩阵A右边加上结果那一列，带有虚线，表示方法为(overline{A})。（举例）(overline{A})=(left[egin{array}{rrrr|r}1&0&3&4&5\0&1&1&1&2\1&6&6&4&8\4&2&1&-1&3end{array} ight])
有解判定：
- 在本章中，m为方程组个数，n为未知数个数。
- r( A )=r( (overline{A}) )=n，有唯一解。
- r( A )=r( (overline{A}) )<n，无穷解。
- r( A ) ( eq) r( (overline{A}) )，无解。
判断秩相等：
- 写出r( (overline{A}) )。
- 只做行变换，化为阶梯形。
- 看r( A )是否等于r( (overline{A}) )，阶梯形中虚线左边非零行行数是否等于虚线右边非零行行数。然后参照上述的有解判定。
- 若是无穷多解，则化为行简化阶梯形，不管零行，非零行的首非零元（1）留在左边，其他变量放在右边，得到一般解。
- 举例：(left[egin{array}{rcll|r}1 & 0 &3 &4 &5\0&1&1&1&2\0&0&0&0&0\0&0&0&0&0end{array} ight]) (left{egin{array}{l}X~1~=5-3X~3~-4X~4~\X~2~=2-X~3~-X~4~end{array} ight.) 同解方程组，在这里，X₃、X₄称为自由未知量。
- 对于增广矩阵，判断是否有解，看虚线处是否拐弯，不拐弯这有解，拐弯则无解。
- 对于增广矩阵只需要给开头和结尾画上虚线即可，中间的过程可以不用画。

(eta)₁和(eta)₂是Ax=0的解，则(eta)₁+(eta)₂也是解。
(eta)是Ax=0的解，那么k(eta)也是解，k是任意常数，也可以取0。
基础解系：有无穷多个解，找出一部分解，若满足下列的条件则为基础解系。
- η₁, η₂, ..., η_s线性无关。
- 任何解可由η₁, η₂, ..., η_s表示。
基础解系求法：

1、列出系数矩阵A。

2、只做初等行变换化为行简化阶梯型。

3、得到首非零元的表示。

4、对自由项取极大无关组并带入所有X即可得到基础解系。

5、解的个数：n - r(A)。
若矩阵A_m*n和B_n*s满足AB=0，则r(A)+r(B)(leq)n
- AB=0 (Rightarrow) A左乘B的每一列都为0 (Rightarrow) B的每一列都是A的一组解 (Rightarrow) r(B) = B的列秩 (leq) A的自由变量数 = n - r(A)。
非齐次方程组Ax=b的导出组为Ax=0。
- 若(alpha)₁,(alpha)₂是Ax=b的解，则(alpha)₁ — (alpha)₂是Ax=0的解。
- 若(alpha)是Ax=b的解，(eta)是Ax=0的解，则A((alpha)+(eta))=b (Rightarrow) (alpha)+ (eta) 是Ax=b的解。
特解：满足非齐次方程组的任意一个解，不特殊。
通解：能用基础解系表示的解。
非齐次方程组的通解=特解+导出组的通解。
求非齐次方程Ax=b的解：
- Ax=别的特解。
- Ax=0的基础解系。
如何求特解: (overline{A}) 化为行简化阶梯形，然后令所有自由变量为0，为了方便，可以使自由变量为零，得出一个朴实无华的特解。

本是青灯不归客，却因浊酒留风尘