线性代数学习笔记——第二章(下)

线性代数学习笔记——第二章(下)

老样子，不放图，今日计划再次搁置，本打算今日早起将这篇笔记赶出来，结果睡过了，而且这篇笔记我尝试了一些其他的方式，比如markdown打出矩阵，各种特殊符号以及找一些资料等等，导致花费的时间居然长达6个小时，不禁自问：我东某人居然这么菜鸡了？
不过这一片笔记很多地方依旧还是用的LaTeX内联属性，但是这个平台他部分属性不支持呀！所以这篇笔记出现了很多很奇怪的地方！！！_字符表示下标，^字符表示上标。
如果有人需要我整理出来的PDF笔记，请加我qq：1632268421。
八月份我会对我的界面进行优化，加上一些联系方式，同时逐步推出个人博客网站，毕竟用的别人的主题，感觉也是怪怪的，同时注册域名并拥有自己的网站真的很香。

分块矩阵

• 基本概念：将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

• 要求：横线（竖线）一气到头。

• 标准形：从左上角开始一串1不断，其余地方均为0，同时标准形不一定是方的。

• 对于分块矩阵的数乘的正确理解：将k看做只有一个块的分块矩阵。

• 分块矩阵乘法：把每个子块看作元素，做矩阵乘法。前提是子块可乘

• 对角型分块矩阵：只有主对角线有不为零的块。

• 分块矩阵转置：先将每个子块视作元素进行矩阵转置，再对每个子块进行转置。

• 分块矩阵求逆：对角分块矩阵求逆，直接把所有对角子块变为对应的逆矩阵。考虑用拉普拉斯展开式求解

初等变化

• 初等变换分为两类：初等行变换、初等列变换。

• 初等变换分为三种：

  • 交换矩阵的某两行(列)。
  • 用k ( eq) 0乘以某一行(列)。
  • 某一行(列)的n倍加到另一行(列)。

• 初等变换需要注意的几点：

  • 初等变换矩阵与矩阵之间使用箭头(—>)连接，不能使用等号(=)。
  • 初等变换即对矩阵的变化。
  • 矩阵的三种初等变换与行列式的三条性质毫无联系。
  • 初等变换的矩阵不一定是方的。
  • 但是当矩阵是方阵且经过|A|变形为行列式后就满足行列式的性质。

• 定理：任意矩阵都可以通过初等变换化为标准形。

• 矩阵的等价：一个矩阵A通过一系列出的呢过变换得到矩阵B，那么矩阵A和矩阵B等价。A(cong)B

  • 性质1：反身性：A(cong)A；
  • 性质2：对称性：A(cong)B (Rightarrow) B(cong)A;
  • 性质3：传递性：A(cong)B，B(cong)C (Rightarrow) A(cong)C;
  • 任何矩阵都等价于标准形，通过标准型可以将复杂的矩阵用简单的标准型表示出来，可以探究矩阵的内在属性。

• 初等方阵的变换种类：

  • 对单位阵E做一次初等变换得到的矩阵叫做初等方阵。(left[egin{matrix}1\&1\&&1\&&&1end{matrix} ight])(stackrel{交换第一行与第四行}{longrightarrow}) (left[egin{matrix}&&&1\&1\&&1\1end{matrix} ight])用E(i,j)表示为E(1,4)，同时该矩阵不再是单位矩阵。

  • 用k ( eq) 0乘以某行（列）。 (left[egin{matrix}1\&1\&&1\&&&1end{matrix} ight])(stackrel{用3乘以第一行}{longrightarrow})(left[egin{matrix}3\&1\&&1\&&&1end{matrix} ight]) 用E(i(k))表示为E(i(3))。

  • 用某一行（列）的倍数k加到另一行（列）上去，(left[egin{matrix}1\&1\&&1\&&&1end{matrix} ight])(stackrel{第一行2倍加到第三行上}{longrightarrow})(left[egin{matrix}1\&1\3&&1\&&&1end{matrix} ight])用E(3,1(3))表示。

  
  

• 初等变换是一个动作（变化过程），而初等方阵是一个方阵(结果)。

• 初等方阵的逆矩阵：初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵。

• 初等仿真的转置：初等方阵的转置也是初等方阵。

• 初等方阵的用处：

  • 初等方阵左乘一个矩阵，相当于相当于对这个矩阵做了同种初等行变换，右乘相当于做了同种初等列变换。
  • 初等方阵时初等变换的载体。
  • 对于任意矩阵，都存在多个初等矩阵，左乘右乘该矩阵将其化为标准型。。
  • 若矩阵A与矩阵B等价，存在可逆矩阵X,Y，满足XAY=B。

• 矩阵可逆的两个充分必要条件：

  • 矩阵A可逆(Longleftrightarrow)A的标准形为单位阵E。
  • 矩阵A可逆(Longleftrightarrow)矩阵A可以表示成一些初等矩阵的乘积。

• 初等变换法求逆矩阵：

  • A^-1 =Q₁Q₂Q₃……Q_t (Longrightarrow) A^-1=Q₁Q₂Q₃……Q_tE，E=Q₁Q₂Q₃……Q_tA。
    • 解释：将A通过一系列初等行变换得到E之时，施加相同的初等行变换在 E可以使E变为A^-1。

• 对于初等行变换的解题思路总结：

  • 首先处理第一列，再处理第二列，第三列……
  • 每次处理一整行，对整行进行操作。
  • 第一列处理好之后，第一行将不再主动参与运算。
  • 处理过程中使用箭头符号，不能使用等号。
  • 只能做初等变换。
  • 如果左边无法化成单位阵，说明该矩阵不可逆。因为初等变换对于矩阵行列式的值改变的是非零倍。
  • 在计算结束后，通过矩阵与逆矩阵的乘积为单位阵进行验算。

矩阵的秩

• k阶子式：给定一个矩阵，任取k行k列，交叉处构成

• 矩阵的秩：非零子式的最高阶数。

• 矩阵秩的表示：r(A)

  • r是rank的缩写。
  • 零矩阵的秩等于零，即r(O)=0。
  • 如果A是m( imes)n的矩阵，那么0(leq)r(A)(leq)min(m,n)。
    • 若r(A)=m，则意味着取了所有的行，称为行满秩。
    • 若r(A)=n，则意味着取了所有的列，称为列满秩。
    • 若r(A)=min(m,n)，则意味着该矩阵为行满秩或者列满秩，统称为满秩。
    • 若r(A)<min(m,n)，称为降秩。
  • 如果A是方阵，并且为满秩，则意味着A可逆，|A| ( eq) 0。
    • 证明：因为A为方阵，所以A为n ( imes) n，说明n阶子式 ( eq) 0，|A| ( eq) 0，因此A可逆。

• 矩阵秩的计算：矩阵r(A)=r，有一个r阶子式不为零，那么r+1阶子式全为零。

• 阶段形矩阵：

  • 若有零行，零行在非零的下边。
  • 自上而下左起首非零元左边零的个数随行的增加而严格增加。
  • 宋氏阶梯折线法：横线可跨多个数，竖线只跨一个数。
  
  
  

• 行简化阶梯形矩阵

  • 什么是阶梯形矩阵：
    • 非零行的首非零元是1。
    • 首非零元所在列的其余元素是0。
  • 宋氏三步走：
    • 画折线，判断阶梯形。
    • O画出首非零元。
    • 首非零元画竖虚线，开头是1其余都为0，确保线上只有一个1，其余项都是零。
  • 一般而言，矩阵的秩等于非零行的行数。
  • 定理：初等（行和列）变换不改变矩阵的秩。
  • 求矩阵秩的方法：初等变换成阶梯形再统计非零行数。
  • 如果在计算的时候出现多个解，一定要带入验算。

• 秩的性质：

  • r(A)=r(A^T)
  • 任意矩阵乘以可逆矩阵秩不变（可逆矩阵可以表示为一系列初等方阵的积）。
    • 推论：若矩阵A_m×n为任意矩阵，P_m为m阶可逆方阵，Q_n为n阶可逆方阵，因此：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)