AutoCad从很早的时候就开始提供了螺旋线的功能,它的用法相对简单,非常适合用来对等距螺旋的理论进行演练。

选择螺旋线工具,首先画出一个基准圆,再向内(或向外)移动鼠标,拖出一个旋转3个周期的螺旋。

Autocad中把螺旋的起点称作底面半径,结束点称为顶面半径(这里的螺旋功能是可以画三维螺旋的)。拖动底面半径的起点时,螺旋整体会变化。拖动顶面半径时,底面半径是固定不变的。因此,在使用时,应尽量先指定好底面半径,之后调整顶面半径来控制螺旋的大小。

从螺旋的特征来看,在这三个旋转周期中,每一个周期,螺旋外扩相同的距离,因此,它属于典型的等距螺旋

 

按照等距螺旋的理论,螺旋是由直线运动与圆周运动的叠加而产生的轨迹。若直线运动与圆周运动的速度之比是固定值,则会产生等距离外扩的螺旋,因此,把这一类的螺旋称为等距(离外扩)螺旋,也可以称为等速度比螺旋

根据直线与圆周的位置关系及速度比的变化,等距螺旋分为以下几种主要的类别。

等距螺旋的分类

直线过圆心,速度比恒定时,会产生阿基米德螺旋。速度比为1,直线与圆周相切,运动方向相反时,会产生渐开线螺旋。【速度比】等于【直线距圆心的距离】与【圆周半径】的比值时,会产生风螺旋。其它的速度比与直线位置没有直接关系的螺旋,早些时候,我称它们为自由螺旋,但是“自由”这个两字已经被香港青年们玩坏了,所以,改称为一般螺旋好了。

理论铺垫了这么多,还没开始我们的问题,CAD中的螺旋研究是什么螺旋?怎么证明呢?

一点点来看,我们先画一个底边半径为60,每个旋转周期外扩20的螺旋,顶面半径为60+3*20=120的螺旋,如下图所示:

从这张图进行判断,螺旋如果继续向内收缩,再经过3个螺旋周期,它必将通过圆心。所以我们可以直接画一个从圆心开始,每周期外扩20的螺旋,可以得到下面的红色部分的螺旋(具体绘制步骤:先画底边半径60,再指向圆心,令顶面半径为0):

理论上说红色螺旋与黑色螺旋采用了相同的参数,从位置关系上看,它们之间相差了180度。将红色螺旋旋转180度,再上下镜像一下,见证奇迹的时间到了,它们是一致的,并且是标准的阿基米德螺旋。

上面的螺旋是按照数据计算得到的结果,螺旋通过圆心是符合预期的结果。那么如果将底面半径设计为100,顶面半径为10,3个旋转周期中每周期收缩30,螺旋将会是下面的样子,这样的螺旋是否还会通过圆心呢?

若按照30距离单位收缩,可以预见,下一回合完成后,螺旋会进入到外扩的过程中,并且可以通过距离圆心20单位的位置点。我们直接从这个20距离点开始画螺旋,外扩30,3个周期,顶面半径为20+3*30=110。得到下面的效果。

根据等距螺旋的理论,完整的螺旋是轴对称图形,可以找到一条过圆心的直线,将螺旋的外扩部分与内收部分对称起来。上图中红色螺旋与黑色螺旋的交点位于同一条线上,可以按照我们所了解的对称性,进行一下验证。

如果螺旋画得够准的话,连接螺旋线的交点得到的对称轴会通过圆心,如上图中的蓝色线条所示。通过对称轴将黑色螺旋进行镜像,得到的镜像部分会将红色螺旋完全覆盖,即两部分螺旋会重合,如下图所示。

通过以上的操作,可以发现计算关系相同的两条件螺旋可以是镜像关系,但作为螺旋运动来说,它们是怎样通过圆心并且进行连接的呢?

我们可以按照阿基米德螺旋的方式,沿水平向右方向来画一条底面半径为90,顶面半径为0的螺旋,来比较一下。(下图中删除掉了镜像得到的黑色螺旋)

我们相信蓝色螺旋与另外两个螺旋是相同的,只是初始方向不一样,通过旋转蓝色螺旋必然会与黑色螺旋重合。

旋转时会发现,当旋转至对称轴时,蓝色螺旋会与黑色螺旋重合。对称轴再一次发挥了作用,而这个不是巧合,是必然。我们已经知道黑色螺旋与红色螺旋沿对称轴互为镜像,所以只需将蓝色螺旋进行镜像可得到穿过圆心的红色螺旋。

 

上图中两条蓝色螺旋虽然通过了圆心,但并未实现平滑连接的效果,这不符合我们关于螺旋运动是平滑而连续的特性。

它们实际上是离开圆心之后,出门左转,与出门右转的关系,这是阿基米德螺旋所特有的对称特性。也就是说前面绘制的黑色螺旋与红色螺旋,它们分别位于左转和右转 两个方向的螺旋之上,这两个螺旋沿对称轴对称。

再来分析一下,对称轴可以看作是阿基米德螺旋初始运动的方向,那么它必然也是螺旋在圆心位置的切线,我们沿对称轴过圆心画一条绿色垂线,如下图所示。

沿对称轴的垂线,对螺旋做镜像(或者逆时针螺旋旋转180度),可以得到平滑衔接的阿基米德螺旋。

最终的效果如下图所示:

我们绘制出了红色螺旋向内连续进行螺旋运动时所形成的完整轨迹,同时也从多种角度证明了,Autocad中的螺旋无论内边、外边的半径怎样设置,它们始终还是属于阿基米德螺旋,不能用来实现渐开线以及风螺旋。

由于Autocad中的螺旋外扩或收缩的方向是穿过圆心的,所以它仍然是阿基米德螺旋。下次我们可以尝试一下在CAD中对渐开线及风螺旋线进行一下对比。

 

这届的学生有点可爱,不认识我的人可以猜猜看,答案很明显哦。

感谢你们的支持,希望等距螺旋之路越走越远~