同余部分参考自：同余运算及其基本性质 ，其他部分为个人总结，关于定理的证明网上很容易找到，就不写了。如有新的体会会继续更新。
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关于同余
如果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同余。它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。
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同余的性质
如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)
如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)
如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m)
以上性质的证明可以在参考的那个博客中找到。
一个常用的技巧：
对于三个正整数 a,b,c，素数p，已知 b%p , c%p ， a%p=(c%p) / (b%p) ,求a%p：
令A=a%p; B=b%p;C=c%p;
则A=(a*1)%p=a%p*1%p=（a%p）*（b^(p-1)）%p --------因为(b^(p-1))%p=1,费马小定理。
=(a*b)%p*(b^(p-2))%p=(c%p)*(b%p)^(p-2)%p=C*B^(p-2)%p
有许多利用同余性质的题目，比如解各种方程，简单总结下做过的：
Hdu 1573 X问题 + Hdu 3579 Hello Kiki (模线性方程组-非互质中国剩余定理)
Poj 2417 Discrete Logging (Baby Step Giant Step 解 a^x = b (mod n) n为素数)
Hdu 2815 Mod Tree + Poj 3243 Clever Y 扩展Baby Step Giant Step 解决离散对数问题
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唯一分解定理
又名：质因数分解定理，算术基本定理。
每一个大于1的整数都能分解成质因数乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排列在一起，相同的因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的。
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勒让德定理
在正数n!的素因子标准分解式中,素数p的指数记作
(n!),则
(注意向下取整符号)，且该无穷级数的非0项的个数是有限的。
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威尔逊定理
若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。
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费马小定理
假如p是质数，且a,p互质，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）。
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欧拉定理
也叫费马小定理的欧拉推广。
若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，φ(n)为n的欧拉函数
Hdu 1395 2^x mod n = 1 (欧拉定理 分解素因数)
Hdu 3221 Brute-force Algorithm (矩阵 欧拉定理降幂)
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中国剩余定理
又叫孙子定理，描述还是挺麻烦的，大家百度吧……
Hdu4767 Bell (贝尔数 中国剩余定理 构造矩阵)
Hdu 1573 X问题 + Hdu 3579 Hello Kiki (模线性方程组-非互质中国剩余定理)
别人的数论刷题总结