三种求乘法逆元方法详解

P3811 【模板】乘法逆元

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定n,p求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。

输入输出格式

输入格式：

一行n,p

输出格式：

n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。

输入输出样例

输入样例#1：

10 13

输出样例#1：

说明

输入保证

我们有三种办法求逆元

由欧拉定理可知

当gcd(a,n)==1 时我们有 A^φ(n-1)≡ 1(mod n) ;

所以我们有 A*A^φ(n-2)≡ 1(mod n)

所以A^φ(n-2)就是A关于mod n的逆元

 1 /*
 2     p为素数时 可用费马小定理 
 3     longlong*longlong 要慢一点 66分 
 4 */
 5 #include <cctype>
 6 #include <cstdio>
 7 
 8 typedef long long LL;
 9 
10 int n,p;
11 
12 inline LL quick_pow(LL a,int k) {
13     LL ret=1;
14     while(k) {
15         if(k&1) ret=(ret*a)%p;
16         k>>=1;
17         a=(a*a)%p;
18     }
19     return ret;
20 }
21 
22 int hh() {
23     scanf("%d%d",&n,&p);
24     printf("1
");
25     for(int i=2;i<=n;++i) {
26         LL t=quick_pow(i,p-2);
27         printf("%d
",(t+p)%p);
28     }
29     return 0;
30 }
31 
32 int sb=hh();
33 int main(int argc,char**argv) {;}

费马小定理

还有我们可以用exgcd来求逆元

我们知道若ax≡1(mod p) 这我们可以写成 ax=py+1；

移项则有 ax-by=1 这明显就是扩展欧几里得

当 ax+by=gcd(a,b) gcd(a,b) == gcd(b,a%b)

我们得到 bx1+(a-(a/b)*b)y1=gcd(b,a%b);

则 ax+by=bx1+(a-(a/b)*b)y1 //这里 / 代表整除

ax+by=bx1+ay1-b*(a/b)y1

ax+by=ay1+b(x1-(a/b)*y1)

我们得到 x=y1

　　　　 y=x1-(a/b)*y1;

x 即为我们所求的逆元

由于 x 可能为负数要(x+p)%p

 1 /*
 2     EXgcd 求逆元
 3     比费马小定理要快一点 83分  
 4 */
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cctype>
 7 
 8 int n,p;
 9 
10 inline int exgcd(int a,int b,int&x,int&y) {
11     if(!b) {
12         x=1;y=0;
13         return a;
14     }
15     int p=exgcd(b,a%b,x,y);
16     int t=x;
17     x=y;
18     y=t-(a/b)*y;
19     return p;
20 } 
21 
22 int hh() {
23     scanf("%d%d",&n,&p);
24     printf("1
");
25     int x,y; 
26     for(int i=2;i<=n;++i) {
27         exgcd(i,p,x,y);
28         printf("%d
",(x+p)%p);
29     }
30     return 0;
31 }
32 
33 int sb=hh();
34 int main(int argc,char**argv) {;}

EXgcd

但是对于这个题来讲复杂度还是不够

我们还有线性求逆元的方法

来看带余除法式子 p=k*i+r

我们可以写成 k*i+r≡0(mod p)

式子两边同乘 i^-1*r^-1 (i^-1,r^-1皆为模p意义下的逆元)

所以我们有 k*r^-1+i^-1≡0(mod p)

i^-1≡-k*r^-1(mod p)

i^-1≡-(p/i)*(p%i)^-1(mod p)

这样我们就线性求得了逆元

 1 #include <cctype>
 2 #include <cstdio>
 3 
 4 typedef long long LL;
 5 const int MAXN=3000010;
 6 
 7 int n,p;
 8 
 9 LL inv[MAXN];
10 
11 int hh() {
12     scanf("%d%d",&n,&p);
13     printf("1
");
14     inv[1]=1;
15     for(int i=2;i<=n;++i) {
16         inv[i]=(LL)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
17         printf("%d
",inv[i]);
18     }
19     return 0;
20 } 
21 
22 int sb=hh();
23 int main(int argc,char**argv) {;}

线性求逆元