题目描述
给出如下定义：
- 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2*3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
-
相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
- 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。
(本题目为2014NOIP普及T4)
输入输出格式
输入格式：
第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。
输出格式：
输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
输入输出样例
输入样例#1：
5 5 2 3 9 3 3 3 9 9 4 8 7 4 1 7 4 6 6 6 8 5 6 9 7 4 5 6 1
输出样例#1：
6
输入样例#2：
7 7 3 3 7 7 7 6 2 10 5 5 8 8 2 1 6 2 2 9 5 5 6 1 7 7 9 3 6 1 7 8 1 9 1 4 7 8 8 10 5 9 1 1 8 10 1 3 1 5 4 8 6
输出样例#2：
16
说明
【输入输出样例1说明】
该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为
6 5 6
7 5 6
，其分值为
|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。
【输入输出样例2说明】
该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为
9 7 8 9 8 8 5 8 10
【数据说明】
对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；
对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，
1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。
1 我们可以看出 数据的n，m 只有16 2 3 那么我们想到枚举选了哪r行和哪r列在枚举子矩阵 4 5 不过看一下复杂度 是O(C(n,r)*C(m,c)*r*c) 6 7 在两个组合数相乘时就爆了 8 9 那么我们可以从另一个角度来想 10 11 只枚举选了那几行或哪几列 大概就可以A掉了 12 13 虽然这个不是纯枚举 却是用枚举为DP做准备的 14 15 我们选出r行后再处理第 i 列和第 j 列之间的差值 16 和一列的列内差值 17 18 然后就DP好了 dp[i][k] 代表选了前i列选了k列 19 第i列强制选取 状态转移为 20 dp[i][k]=min(dp[i][k],dp[j][k-1]+cost[j][i]+val[i]); 21 cost[i][j] 代表若第i列与第j列相邻的花费 22 val[i]代表 第i列列内的花费 23 24 最后取dp[i][c]
1 #include<cmath> 2 #include<cstdio> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #define MAXN 20 6 7 using namespace std; 8 9 int a[MAXN][MAXN],n,m,r,c,ans; 10 11 int R[MAXN],cost[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN],val[MAXN]; 12 13 inline void read(int &x) { 14 int f=1;x=0;char c=getchar(); 15 while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();} 16 while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();} 17 x=x*f; 18 } 19 20 inline int DP() { 21 int ret=1e9; 22 for(int i=1;i<=m;i++) { //在第i列之间的数的差值之和 23 val[i]=0; 24 for(int j=1;j<r;j++) 25 val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]); 26 } 27 28 for(int i=1;i<=m;i++) //处理在第i列与第j列之间 数的差值之和 29 for(int j=i+1;j<=m;j++) { 30 cost[i][j]=0; 31 for(int k=1;k<=r;k++) 32 cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]); 33 } 34 35 for(int i=1;i<=m;i++) //前i列之中 第i列强制选择 36 for(int j=1;j<=i&&j<=c;j++) { //已经选了j列 37 dp[i][j]=1e9; 38 for(int k=j-1;k<i;k++) // 从j-1列开始 在第j-1列到第i列之中选第j列 再加上第i列的花费 39 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k][i]+val[i]); //在前k列中选取了j-1列 再选取第j列 40 } 41 42 for(int i=c;i<=m;i++) //在前i列中选了c列 43 ret=min(ret,dp[i][c]); 44 return ret; 45 } 46 47 inline void slect(int now,int cnt) {// 任意选取r行 48 if(now>n) { 49 if(cnt==r) ans=min(ans,DP()); 50 return; 51 } 52 slect(now+1,cnt); 53 R[cnt+1]=now; 54 slect(now+1,cnt+1); 55 return; 56 } 57 58 int main() { 59 read(n);read(m);read(r);read(c); 60 for(int i=1;i<=n;i++) 61 for(int j=1;j<=m;j++) 62 read(a[i][j]); 63 ans=1e9; 64 slect(1,0); 65 printf("%d ",ans); 66 return 0; 67 }