UESTC 288 青蛙的约会扩展GCD

设两只青蛙跳了t步，则此时A的坐标：x+mt，B的坐标：y+nt。要使的他们在同一点，则要满足: x+mt - (y+nt) = kL (p是整数)

化成： (n-m)t + kL = x-y (L > 0) 则变成求解同余方程： (n-m)t ≡ (x-y) mod L ,用扩展gcd解决。且此时当 (x-y) % gcd(n-m,L) == 0 时才有解。

解同余方程ax+by = m时，假设我们已经求出了一对x0,y0，则 x0 = x*m/gcd(a,b) ,此时x0可能不是正整数，更不一定是最小正整数解，所以还需进一步处理。

令g = gcd(a,b), 对 a*x0 + b*y0 = d , 有 (a/g)*x0 +(b/g)*y0 = d/g 再变形：(a/g)(x0 + k*(b/g)) + (b/g)(y0 - k*(a/g)) = d/g 仍然成立，根据k的值可以找出所有的解，所以，x = x0+k(b/g) , 令b/g = t, 则 x = x0 + kt, 所以可以通过 x = (x0%t + t)%t 求得最小正整数解x。

Tips：为了避免gcd(n-m,L)变成负数，首先判断一下n-m的正负性，如果为负，则n-m取反成m-n，此时x-y取反成y-x，仍可求得正确结果。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define Mod 1000000007
#define SMod 10007
#define lll __int64
#define ll long long
using namespace std;
#define N 1000007

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x = (ll)1,y = (ll)0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t = x;
    x = y;
    y = t - a/b*y;
    return r;
}

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(!b)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int main()
{
    ll x,y,m,n,L;
    ll kx,ky;
    //freopen("1.txt","r",stdin);
    //freopen("2.txt","w",stdout);
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
    {
        ll nm = n-m;
        ll delta = x-y;
        if(nm < 0)
        {
            nm = m-n;
            delta = y-x;
        }
        ll d = exgcd(nm,L,kx,ky);
        if(delta%d)
        {
            puts("Impossible");
            continue;
        }
        ll t = L/d;
        //printf("%lld
",t);
        ll res = (((delta/d)*kx)%t + t)%t;
        printf("%lld
",res);
    }
    return 0;
}

View Code

UESTC 288 青蛙的约会 扩展GCD

UESTC 288 青蛙的约会扩展GCD