（一）泛函的概念

泛函的定义

定义一： 泛函（functional）通常是指定义域为函数集，而值域为实数或者复数的映射。换而言之，泛函是从由函数组成的一个向量空间到标量域的映射。

定义二： 设 (oldsymbol{C}) 是函数（形式）的集合，(oldsymbol{B}) 是实数集合；如果对 (oldsymbol{C}) 中的任一个元素 (y(x))，在 (oldsymbol{B}) 中都有一个元素 (oldsymbol{J}) 与之对应，则称 (oldsymbol{J}) 为 (y(x)) 的泛函，记为 (oldsymbol{J}[y(x)])。

这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求 (y(x)) 满足一定的边界条件，并且有连续的二阶导数。这样的 (y(x)) 称为可取函数。

最简泛函

泛函的形式可以是多种多样的，但是，这里只讨论以下这种积分的形式：

[oldsymbol{J}[y] = int^{x_1}_{x_0} F(x, y, y') dx ]

其中，(F) 是它的宗量的已知函数，具有连续的二阶偏导数。称之为 最简泛函 。

最速降线问题

如图所示，在重力的作用下，一个质点从 ((x_0, y_0)) 处沿着平面曲线 (y(x)) 无摩擦地自由下滑到 ((x_1, y_1)) 点处，则需要的时间为多少？

解析：对于微小弧长 (Delta S)，此时速度为 (v_t)。则划过微小弧长 (Delta S) 的时长为 (Delta t = frac{Delta S}{v_t})。

由于重力势能转化为动能，则在 (t) 时刻质点下降高度 (h = y_0 - y) 时，动能为 (frac{1}{2} m v_t^2 = m g h)，则有 (v_t = 2 g h)。

那么，(Delta t = frac{Delta S}{sqrt{2 g (y_0 - y)}})

积分得到，所需时间为：

[T = int^{(x_1, y_1)}_{(x_0, y_0)} frac{ds}{sqrt{2g(y_0 - y)}} = int^{x_1}_{x_0} frac{sqrt{1 - y'^2}}{sqrt{2g(y_0 - y)}} dx ]

在这里，要求变量函数 (y(x)) 一定通过端点 ((x_0, y_0)) 和 ((x_1, y_1))。