bzoj2037 [Sdoi2008]Sue的小球

Description

Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型：以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi, yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0, 0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

Input

第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。

Output

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

Sample Input

3 0
-4 -2 2
22 30 26
1 9 8

Sample Output

0.000

数据范围：
N < = 1000，对于100%的数据。 -10^4 < = xi,yi,vi < = 10^4

正解：区间$dp$。

首先我们肯定是会先取完$x$轴上连续的一段再取这一段外面的。

所以我们把球按照$x$轴排序以后就是一个很简单的区间$dp$。

设$f[l][r][0/1]$表示取完$[l,r]$的球，最后是在左边/右边取的得分最大值。

直接讨论转移即可，注意计算贡献时要把还没取到的球已经产生的费用算上。

复杂度$O(n^{2})$。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 #define N (1005)
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 struct data{ int x,y,z; }p[N];
10 
11 int sum[N],n,x0;
12 ll f[N][N][2];
13 
14 il int gi(){
15   RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
16   while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
17   if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
18   while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
19   return q*x;
20 }
21 
22 il int cmp(const data &a,const data &b){ return a.x<b.x; }
23 
24 int main(){
25 #ifndef ONLINE_JUDGE
26   freopen("sue.in","r",stdin);
27   freopen("sue.out","w",stdout);
28 #endif
29   n=gi(),x0=gi();
30   for (RG int i=1;i<=n;++i) p[i].x=gi();
31   for (RG int i=1;i<=n;++i) p[i].y=gi();
32   for (RG int i=1;i<=n;++i) p[i].z=gi();
33   sort(p+1,p+n+1,cmp),memset(f,-0x3f3f3f,sizeof(f));
34   for (RG int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+p[i].z;
35   for (RG int i=1;i<=n;++i)
36     f[i][i][0]=f[i][i][1]=1LL*p[i].y-1LL*fabs(x0-p[i].x)*sum[n];
37   for (RG int len=1;len<n;++len)
38     for (RG int l=1,r;l+len<=n;++l){
39       r=l+len;
40       f[l][r][0]=max(f[l][r][0],f[l+1][r][0]-1LL*(p[l+1].x-p[l].x)*(sum[n]-sum[r]+sum[l])+p[l].y);
41       f[l][r][0]=max(f[l][r][0],f[l+1][r][1]-1LL*(p[r].x-p[l].x)*(sum[n]-sum[r]+sum[l])+p[l].y);
42       f[l][r][1]=max(f[l][r][1],f[l][r-1][0]-1LL*(p[r].x-p[l].x)*(sum[n]-sum[r-1]+sum[l-1])+p[r].y);
43       f[l][r][1]=max(f[l][r][1],f[l][r-1][1]-1LL*(p[r].x-p[r-1].x)*(sum[n]-sum[r-1]+sum[l-1])+p[r].y);
44     }
45   printf("%0.3lf
",0.001*max(f[1][n][0],f[1][n][1])); return 0;
46 }