bzoj3997 [TJOI2015]组合数学

Description

给出一个网格图，其中某些格子有财宝，每次从左上角出发，只能向下或右走。问至少走多少次才能将财宝捡完。此对此问题变形，假设每个格子中有好多财宝，而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝，至少走多少次才能把财宝全部捡完。

Input

第一行为正整数T，代表数据组数。

每组数据第一行为正整数N，M代表网格图有N行M列，接下来N行每行M个非负整数，表示此格子中财宝数量，0代表没有

Output

输出一个整数，表示至少要走多少次。

Sample Input

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

Sample Output

HINT

N<=1000,M<=1000.每个格子中财宝数不超过10^6

正解：$dilworth$定理+$dp$。

$dilworth$定理：最小链覆盖=最长反链。

这里的最长反链，就是最大独立集，而独立集的要求就是所有财宝从左下到右上排列。

于是我们可以直接写一个$O(nm)$的$dp$。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 int g[1005][1005],n,m;
 9 ll f[1005][1005];
10 
11 il int gi(){
12   RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
13   while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
14   if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
15   while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
16   return q*x;
17 }
18 
19 il void work(){
20   n=gi(),m=gi();
21   for (RG int i=1;i<=n;++i){
22     for (RG int j=1;j<=m;++j) g[i][j]=gi();
23     for (RG int j=m;j;--j)
24       f[i][j]=max(f[i-1][j+1]+g[i][j],max(f[i-1][j],f[i][j+1]));
25   }
26   printf("%lld
",f[n][1]); return;
27 }
28 
29 int main(){
30 #ifndef ONLINE_JUDGE
31   freopen("math.in","r",stdin);
32   freopen("math.out","w",stdout);
33 #endif
34   RG int T=gi();
35   while (T--) work();
36   return 0;
37 }