bzoj4872 [Shoi2017]分手是祝愿

Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

正解：期望$dp$+贪心。

这题其实不难，人蠢想不出。。

我们考虑如果直接算最小答案该怎么搞，肯定是从编号大的灯往编号小的灯关，这样肯定是最优的。那么如果这个答案小于等于$k$，那最终答案就是它。直接这样做有$80$分。。

考虑前面随机关灯的那一部分怎么搞。假设现在至少还要进行$k$操作，那么我们可以知道，如果关对应的$k$盏灯，可以让操作次数减一，否则会让操作次数加一。

那么我们可以设一个状态，$f[i]$表示从至少还要进行$i$次操作到至少还要进行$i-1$次操作的期望操作次数。

分两种情况讨论，如果这次关的灯是指定的$i$盏灯，那么会让答案减一，否则会让答案加一。

那么$f[i]=frac{i}{n}+frac{n-i}{n}*(1+f[i+1]+f[i])$，这个式子还是比较好懂吧。。

化简可以得到$f[i]=frac{n+(n-i)f[i+1]}{i}$，又$f[n+1]=0$，所以我们就可以直接$dp$了。

答案就是$k+sum_{i=k+1}^{ans}f[i]$。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 #define N (100010)
 6 #define rhl (100003)
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 struct edge{ int nt,to; }g[5000010];
11 
12 int head[N],a[N],f[N],inv[N],n,k,num,fac,res,ans;
13 
14 il int gi(){
15   RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
16   while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
17   if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
18   while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
19   return q*x;
20 }
21 
22 il void insert(RG int from,RG int to){
23   g[++num]=(edge){head[from],to},head[from]=num; return;
24 }
25 
26 int main(){
27 #ifndef ONLINE_JUDGE
28   freopen("divide.in","r",stdin);
29   freopen("divide.out","w",stdout);
30 #endif
31   n=gi(),k=gi(),fac=1;
32   for (RG int i=1;i<=n;++i){
33     a[i]=gi(),fac=1LL*fac*i%rhl;
34     inv[i]=i==1 ? 1 : 1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
35     for (RG int j=i;j<=n;j+=i) insert(j,i);
36   }
37   for (RG int i=n;i;--i){
38     if (!a[i]) continue; ++ans;
39     for (RG int j=head[i];j;j=g[j].nt) a[g[j].to]^=1;
40   }
41   if (ans>k){
42     for (RG int i=n;i>k;--i)
43       f[i]=(1LL*(n-i)*f[i+1]+n)*inv[i]%rhl;
44     for (RG int i=ans;i>k;--i){
45       res+=f[i]; if (res>=rhl) res-=rhl;
46     }
47     ans=k+res; if (ans>=rhl) ans-=rhl;
48   }
49   cout<<1LL*ans*fac%rhl; return 0;
50 }