bzoj2733 [HNOI2012]永无乡

Description

永无乡包含 n 座岛，编号从 1 到 n，每座岛都有自己的独一无二的重要度，按照重要度可 以将这 n 座岛排名，名次用 1 到 n 来表示。某些岛之间由巨大的桥连接，通过桥可以从一个岛 到达另一个岛。如果从岛 a 出发经过若干座（含 0 座）桥可以到达岛 b，则称岛 a 和岛 b 是连 通的。现在有两种操作：B x y 表示在岛 x 与岛 y 之间修建一座新桥。Q x k 表示询问当前与岛 x连通的所有岛中第 k 重要的是哪座岛，即所有与岛 x 连通的岛中重要度排名第 k 小的岛是哪 座，请你输出那个岛的编号。 
 

Input

输入文件第一行是用空格隔开的两个正整数 n 和 m，分别 表示岛的个数以及一开始存在的桥数。接下来的一行是用空格隔开的 n 个数，依次描述从岛 1 到岛 n 的重要度排名。随后的 m 行每行是用空格隔开的两个正整数 ai 和 bi，表示一开始就存 在一座连接岛 ai 和岛 bi 的桥。后面剩下的部分描述操作，该部分的第一行是一个正整数 q， 表示一共有 q 个操作，接下来的 q 行依次描述每个操作，操作的格式如上所述，以大写字母 Q 或B 开始，后面跟两个不超过 n 的正整数，字母与数字以及两个数字之间用空格隔开。 对于 20%的数据 n≤1000,q≤1000
 
对于 100%的数据 n≤100000,m≤n，q≤300000 
 

Output

对于每个 Q x k 操作都要依次输出一行，其中包含一个整数，表 示所询问岛屿的编号。如果该岛屿不存在，则输出-1。 
 

Sample Input

5 1
4 3 2 5 1
1 2
7
Q 3 2
Q 2 1
B 2 3
B 1 5
Q 2 1
Q 2 4
Q 2 3

Sample Output

-1
2
5
1
2

正解：线段树启发式合并。

以前没用过启发式合并，这回学了一下来用。。

和主席树很像，动态开结点，值域线段树。每次合并时直接将两颗线段树的每个结点合并。复杂度。。均摊是log^2吗？？（其实我也不知道的说，不过学长说复杂度是对的。。）再用一个并查集维护连通性，于是这题就能完美AC了。然而HNOI居然会有水题。。

ps：启发式合并复杂度证明，来自巨犇黄嘉泰（并没有很看懂。。）

线段树合并的时间复杂度证明

每一次合并的时间复杂度为 公共点个数

所以总的时间复杂度为T=∑第i次第i次的公共点个数
设最大的深度为L=O(logn)，进行一系列的推导：
T=∑第i次第i次的公共点个数=∑第dep层∑第dep层的一个点ii点作为公共点的总次数=∑第dep层∑第dep层的一个点ii点没有被覆盖满的次数
由于最坏情况下，每次i子树中指加入一个点，而第dep层的i子树共有O(2L−dep)个点。
所以有：
T=∑第dep层∑第dep层的一个点ii点没有被覆盖满的次数≤∑第dep层∑第dep层的一个点i2L−dep=∑第dep层2dep2L−dep=∑第dep层2L=L×2L=O(nlogn)
所以单次的均摊复杂度为O(logn)

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define N (100010)
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int sum[20*N],ls[20*N],rs[20*N],rt[N],fa[N],a[N],pos[N],n,m,sz;
char s[5];

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il int find(RG int x){ return fa[x]==x ? fa[x] : (fa[x]=find(fa[x])); }

il void insert(RG int &x,RG int l,RG int r,RG int v){
    if (!x) x=++sz; if (l==r){ sum[x]++; return; }
    RG int mid=(l+r)>>1;
    if (v<=mid) insert(ls[x],l,mid,v);
    else insert(rs[x],mid+1,r,v);
    sum[x]=sum[ls[x]]+sum[rs[x]]; return;
}

il int merge(RG int x,RG int y){
    if (!x || !y) return x+y;
    ls[y]=merge(ls[x],ls[y]);
    rs[y]=merge(rs[x],rs[y]);
    sum[y]=sum[ls[y]]+sum[rs[y]]; return y;
}

il int query(RG int x,RG int l,RG int r,RG int k){
    if (l==r) return l; RG int mid=(l+r)>>1;
    if (k<=sum[ls[x]]) return query(ls[x],l,mid,k);
    else return query(rs[x],mid+1,r,k-sum[ls[x]]);
}

il void work(){
    n=gi(),m=gi(); RG int u,v,x,k;
    for (RG int i=1;i<=n;++i) a[i]=gi(),pos[a[i]]=i,fa[i]=i;
    for (RG int i=1;i<=m;++i) u=gi(),v=gi(),u=find(u),v=find(v),fa[u]=v;
    for (RG int i=1;i<=n;++i) insert(rt[find(i)],1,n,a[i]); m=gi();
    for (RG int i=1;i<=m;++i){
    scanf("%s",s);
    if (s[0]=='B'){
        u=gi(),v=gi(),u=find(u),v=find(v);
        if (u!=v) fa[u]=v,rt[v]=merge(rt[u],rt[v]);
    }
    if (s[0]=='Q'){
        x=gi(),k=gi(),x=find(x);
        if (sum[rt[x]]<k){ printf("-1
"); continue; }
        printf("%d
",pos[query(rt[x],1,n,k)]);
    }
    }
    return;
}

int main(){
    File("neverland");
    work();
    return 0;
}