最佳平方逼近多项式

一 内积与正交多项式

定义1  是[a,b]上的权函数,记

      (1)

称为函数 上带权 的内积。

内积具有以下性质:

① 对称性

② 齐次性

③ 可加性  

④ 非负性 ,且 当且仅当 x∈[a,b]。

定义2  如果内积 (2)则称函数f,g在[a,b]上带权 正交。

例如,三角函数系 上带权 ≡1的正交函数系。

 如果[a,b]上的连续函数系 满足

     (3)

则称 是[a,b]上带权 的正交函数系。如果 为多项式系, 且 是最高项系数 的n次多项式,则称 为区间[a,b]上 带权 的正交多项式系,并称 是[a,b]上带权 的n次正交多项式。

利用Gram-Schmidt 方法可以构造出[a,b]上的带权 的正交多项式系 如下:

         (4)

 这样构造出的正交多项式系 具有以下性质:

是最高项系数为1的n次多项式;

② 任意n次多项式均可表示为前n+1个 的线性组合;

③ 对于任意i≠j, ,并且 与任一次数小于n的多项式都正交;

在区间[a,b] 内有n个互异的实零点。

首项系数为1的正交多项式系 有下面递推关系:

    (5)

其中

            (6)

 

  常见的正交多项式系

1. 勒让德多项式

在区间[-1,1]上权函数为 ≡1的正交多项式

(7)

称为勒让德(Legendre)正交多项式,显然 的首项 的系数 ,故

表示首项系数为1的勒让德多项式。

勒让德多项式 具有以下性质:

① 正交性  

      (8)

② 递推关系

    (9)

由 递推可得

   

③ 奇偶性

即:当n为奇数时, 为奇函数;当n为偶数时, 为偶函数。  

在区间[-1,1]内有n个互异的实零点。

2.切比雪夫多项式在区间[-1,1]上权函数为 的正交多项式

     (10)

称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。

切比雪夫多项式具有以下性质:

        正交性

   (11)

② 递推关系

       (12)

递推可得

显然, 的首项系数 (n≥1)。

③ 奇偶性 当n为奇数时, 为奇函数;当n为偶数时, 为偶函数。即

在区间[-1,1]内有n个互异的实零点

三 最佳平方逼近多项式

定义3 设f(x)∈C[a,b],若有一次数不超过n(n≤m)的多项式 ,使得

     (1 3)

称满足式(13)的 为f(x)在区间[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数

的最小值。由多元函数求极值的必要条件,得

  

     (14)

式(14)是关于 的线 性方程组,用矩阵表示为

     (15)

式(14)或式(15)称为正规方程组或法方程组。

可以 证明,方程组(15)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式(14)中解出 ,从而可得最佳平方逼近多项式

若[a,b]=[0, 1], ≡1,则

方程组(15)的系数矩阵为

称为希尔伯特(Hierbert)矩阵。以后,不特别声明,均取 ≡1。

例1  在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式。

得正规方程组

解得 ,所以

作基,求最佳平方逼近多项式,当n 较大时,系数矩阵是病态矩阵, 求正规方程组的解,舍入误差会很大,这时选正交多项式为基,就可避免这种情况。

一般地,设

同式(14)的推导完全类似,可得 应满足的正规方程组为        

其中

若取 ,则式(16)就是式(13);若取 为区间[a,b]上的正交多项式,则式(16)的系数矩阵为对角矩阵,解为

     (17)

例4   在区间[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。

解 在式(16)中,取勒让德多项式系中 为基,则

所以

对于有限区间[a,b],做变量替换

于是 在区间[-1,1]上可用勒让德多项式为基求得最佳平方逼近多项式 ,从而得到在区间[a,b]的最佳平方逼近多项式 ,这与用(15)求得的是一致的,但用前者计算公式比较方便,不存在病态问题。
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