字符三角形系列——数列与函数变换

一、准备知识

　　1：根据数列的前有限项归纳通项公式（主要是直线型），也可以说是一次函数的运用。

　　2：坐标平移。把函数y=f(x)的图像向右平移m个单位可得到y=f(x-m)的图形，把函数y=f（x）的图像向上平移n个单位可得到函数y=f(x)+n的图像

　　3：对称变换。把函数y=f(x)的图像沿直接x=m对称可得到函数y=f(2m-x)的图像，把函数y=f(x)的图像沿y=n对称后可得到2n-y=f(x)的图像

　　4：翻折变换。把函数y=f(x)的图像中y轴左边部分清除，把右边图像沿y轴对称到左边，右边图像依然保留，把函数y=f(x)的图像中x轴下边部分清除，把上边图像沿x轴对称到下边，上边图像依然保留

二、字符三角形示例

1：输出下图字符三角形，其中字符可变，行数也可变。

*
**
***
****
*****
******

　　本例较为简单，首先确定行数，逐行输出——一个循环可解决。每一行的字符个数在变，容易看出跟行数有关——就等于行号，故而整个输出就一个双循环可搞定，代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a=6;
    char ch='*';
    for(int y=1;y<=a;y++)
    {
        for(int x=1;x<=y;x++)
            cout<<ch;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

 2：输出下图字符三角形

******
*****
****
***
**
*

　　这个问题跟上一个问题类似，只是每一行的字符个数逆序而己。实现方法就是改变内循环总次数，而这个次数其实就是一个关于行号的函数，也可以说是一个数列的通项公式。当然也可是跟第一个问题类似的处理办法，只是一个取前段，一个取后段。两个思路的代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a=6;
    char ch='*';
    for(int y=1;y<=a;y++)
    {
        for(int x=y;x<=a;x++)
            cout<<ch;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a=6;
    char ch='*';
    for(int y=1;y<=a;y++)
    {
        for(int x=1;x<=a+1-y;x++)
            cout<<ch;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

3：输出下图字符三角形

     *
    **
   ***
  ****
 *****
******

　　这个问题可以做个分解，每行分两个部分，前部分是空格，后部分是字符，空格个数参照第二个问题，字符个数参照第一个问题，代码实现应该较为容易。还有一种思路，把整个输出看作是一个aXa方阵，找出空格与字符的分界，用条件判断是输出字符还是空格。为了符合习惯，我们可以把行号转换成纵坐标，把整个分界线看作一个函数的图像（部分）。代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a=6;
    char ch='*';
    for(int y=1;y<=a;y++)
    {
        for(int x=y+1;x<=a;x++)
            cout<<' ';
        for(int x=1;x<=y;x++)
            cout<<ch;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a=6,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=1;i<=a;i++)
    {
        y=a+1-i;//用于转换坐标系 
        for(x=1;x<=a;x++)
        {
            if(y>x)cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

4：输出下图字符三角形

     *
    ***
   *****
  *******
 *********
***********

　　按照前面的经验，如果把每一行分成两个部分，那这个问题也不难，前面是空格，跟第三个问题差不多，字符个字数嘛，不难看出就是奇数，其通项公式很容易得出第n行的个数是2n-1。

　　当然也可以看作第一个问题的图像沿y轴翻折而成，根据前面所述，每一行的数字可以是-a到a。如果不喜欢负数，也可以向右平移a单位，其代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a=6;
    char ch='*';
    for(int y=1;y<=a;y++)
    {
        for(int x=y+1;x<=a;x++)
            cout<<' ';
        for(int x=1;x<=y*2-1;x++)
            cout<<ch;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=5,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=0;i<=a;i++)
    {
        y=a+1-i;//用于转换坐标系 
        for(x=-a;x<=a;x++)
        {
            if(y>a+1-abs(x))cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=5,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=0;i<=a;i++)
    {
        y=a+1-i;//用于转换坐标系 
        for(x=0;x<=a*2;x++)
        {
            if(y>a+1-abs(x-a))cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

5：输出下图字符三角形

      *
     ***
    *****
   *******
  *********
 ***********
 ***********
  *********
    *******
     *****
      ***
       *

　　这个问题可以分上下两部分，这个方法就不再做了，我们完全可以做上下翻折变换，当然也可以通过平移稍做改变，实现代码如下

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=6,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=-a;i<=a;i++)
    {
        y=abs(i);
        for(x=0;x<y;x++)
            cout<<' ';
        for(x=1;x<=(a-y)*2+1;x++)
            cout<<ch;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=5,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=-a;i<=a;i++)
    {
        y=abs(i);//用于转换坐标系 
        for(x=-a;x<=a;x++)
        {
            if(y>a-abs(x))cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=5,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=0;i<=a*2;i++)
    {
        y=abs(a-i);//用于转换坐标系 
        for(x=0;x<=a*2;x++)
        {
            if(y>a-abs(x-a))cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

6：输出以下图像

     *         *
    ***       ***
   *****     *****
  *******   *******
 ********* *********
*********************

　　这个例子可以说简单，就是把第四个示例的图像对称一下就好，你知道对称轴吗？代码如下

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=5,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=0;i<=a;i++)
    {
        y=a-i;//用于转换坐标系 
        for(x=-2*a;x<=a*2;x++)
        {
            if(y>a-abs(abs(x)-a))cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=5,x,y;
    char ch='*';
    for(int i=0;i<=a;i++)
    {
        y=a-i;//用于转换坐标系 
        for(x=0;x<=a*4;x++)
        {
            if(y>a-abs(abs(a*2-x)-a))cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

7：输出以下图像

　　这个示例只是用了两个字符，形成中间的两个菱形字符，可以是第6个示例的纵向翻折，也可以是第5个示例的横向对称，代码如下

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=6,x,y;
    char ch='O';
    for(int i=0;i<=a*2;i++)
    {
        y=abs(a-i);//用于转换坐标系 
        for(x=-2*a;x<=a*2;x++)
        {
            if(y>a-abs(abs(x)-a))cout<<'H';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int a=6,x,y;
    char ch='+';
    for(int i=0;i<=a*2;i++)
    {
        y=abs(a-i);//用于转换坐标系 
        for(x=0;x<=a*4;x++)
        {
            if(y>a-abs(abs(a*2-x)-a))cout<<' ';
            else cout<<ch;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

　　小结：算法终究是离不开数学的，好的算法是建立在好的数学思维之上的，开动脑筋，不僵化就会有好的算法。以上内容仅供参考，如有不妥请指教。