问题描述
我和我女朋友的QQ号都是九位数字，这九个数字是有七个不同的数字组成的，我想问这种概率是多大，我们是不是特别我看缘分呢？求大神给算一下概率！
思路
定义问题：由7种数字组成的9位数一共有多少个？记做x，则答案为$frac{x2}{C_{10}7 imes C_{10}^{18}}$
所以关键在于由7种数字组成的9位数一共有多少个
from collections import Counter
from scipy.special import comb as c, factorial as f
"""
我和我女朋友的QQ号都是九位数字，而这九个数字完全相同只是数字顺序不同，这九个数字是有七个不同的数字组成的，我想问这种概率是多大
"""
def split(n, m):
"""
整数拆分,把整数n拆成m个整数之和的形式
:param n:
:param m:
:return:
"""
if m == 0: return
a = [1] * m
a[-1] = n - (m - 1)
yield a
def can_increase(i):
# i是否有增长空间
if i == m - 1: return False
for j in range(i + 1, m):
if a[j] - a[i] > 1:
return True
return False
while 1:
# 首先找到最后一个增长点
i = m - 1
while i >= 0 and not can_increase(i):
i -= 1
# 如果没有增长点,直接退出
if i == -1:
break
# 增长点增长,并且更改后续数组
a[i] += 1
for j in range(i + 1, m):
a[j] = a[i]
a[-1] = n - sum(a[:-1])
yield a
def g(n, m):
"""
由m个正整数组成的n位数有多少个
:param n:
:param m:
:return:
"""
s = 0
for i in split(n, m):
number_left = m
position_left = n
now = c(10, m)
for j in i:
now *= number_left * c(position_left, j)
position_left -= j
number_left -= 1
for j in Counter(i).values():
now /= f(j)
s += now
return s
def test():
for i in range(1, 15):
s = 0
for j in range(i + 1):
s += g(i, j)
if s != 10 ** i:
raise Exception("error {} {} {}".format(i, s, 10 ** i))
def find_rule():
ma = 30
table = [[0] * ma for _ in range(ma)]
for i in range(1, ma):
for j in range(1, i + 1):
table[i][j] = g(i, j)
for i in range(1, ma):
for j in range(1, i + 1):
print("%-8d" % (table[i][j] / table[i - 1][j]) if i > 1 and table[i - 1][j] else table[i][j], end=' ')
print()
for i in range(1, ma):
for j in range(1, i + 1):
print("%-8d" % table[i][j], end=' ')
print()
test()
print(g(9, 7) ** 2 / c(10, 7) / 10 ** 18)
find_rule()
上述程序求解复杂度较高，实际上可以找到规律。用找到的规律可以飞快解决：由m种数字组成的n位数一共有多少种这种问题。
我找到的规律如下：
1、对于10进制来说，由11种数字组成的n位数个数为0，因为总共就10种数字，也就是说，整个表格只有前10列不为零
2、对于每列来说，最终都会变成等比数列，第i列的公比就是i
3、从左上角到右下角的斜线，呈现9、8、7、6、5、4、3、2、1、0的比例