SG函数模板

　　首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

　　例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

　　计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

模板1如下（SG打表）：

 1 //f[]：可以取走的石子个数
 2 //sg[]:0~n的SG函数值
 3 //hash[]:mex{}
 4 int f[K],sg[N],hash[N];
 5 void getSG(int n)
 6 {
 7         memset(sg,0,sizeof(sg));
 8         for(int i=1; i<=n; i++) {
 9                 memset(hash,0,sizeof(hash));
10                 for(int j=0; f[j]<=i && j < k; j++) //k是f[]的有效长度
11                         hash[sg[i-f[j]]]=1;
12                 for(int j=0; ; j++) {   //求mes{}中未出现的最小的非负整数
13                         if(hash[j]==0) {
14                                 sg[i]=j;
15                                 break;
16                         }
17                 }
18         }
19 }

模板2如下（dfs）：

 1 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
 2 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
 3 int s[N],sg[N],n;
 4 int getSG(int x)
 5 {
 6         if(sg[x]!=-1)
 7                 return sg[x];
 8         bool vis[M];
 9         memset(vis,0,sizeof(vis));
10         for(int i=0; i<n; i++) {
11                 if(x>=s[i])
12                         vis[getSG(x-s[i])]=1;
13         }
14         for(i=0;; i++)
15                 if(!vis[i]) {
16                         sg[x]=i;
17                         break;
18                 }
19         return sg[x];
20 }