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常用概念
（1）dimV：线性空间中，线性无关向量的最大个数（矩阵的秩）
（2）N（A）：矩阵零空间：AX=0的X的解空间
（3）span{c1,c2,c3....}：矩阵列空间
（4）奇异矩阵：矩阵的行列式为0
（5）det（A）=|A|：A的行列式的值
（6）tr（A）：矩阵A的迹，对角线的值
(trA=a_{11}+a_{22}+....a_{nn})
矩阵tr的性质：
(1) b1+b2+...+bn=trA
(2) b1b2...*bn=detA
其中：其中b1,b2,...,bn为矩阵A的特征值
（7）diag{r1,r2,...rn}:由r1，r2...rn组成的对角阵
（8）欧式空间：实数空间 U空间：包含复数的空间
转置：欧式空间的转置为T，U空间转置为H
对称矩阵：欧式空间中，$A^{T}=A$为对称矩阵，在U空间中表达为$A^{H}=A$,称为Hermite阵
（9）奇异值：$A^{H}A$的所有特征值开根号，即为奇异值，应用在奇异值分解里面
（10）
几种不同的矩阵
- 奇异矩阵：矩阵的行列式为0
- 正交阵（U阵）：
$AA^{T}=A^{T}A=E$,即$A^{T}=A^{-1}$
根据矩阵的乘法:
$c_{ij}=sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=sum_{k=1}^{n}a_{ik}a_{jk}$(因为$b_{kj}=a_{jk}$)根据上面可以得出，正交阵的性质：
（1）同行的乘积之和为1
（2）异行的乘积之和为0
对于欧式空间（实数空间）表达式：
$Q^{T}Q=I$
对于U空间（复数空间）表达式：$U^{H}U=I$
任何一个矩阵U相似于上三角阵：$U^{H}AU=egin{bmatrix}lambda_{1} & & & * \ & lambda_{2}\ & & ...\ \& & & lambda_{n}end{bmatrix}$
-
对称矩阵（Hermite阵）：
$A^{H}=A$ -
正规阵：
$AA^{H}=A^{H}A$
正规阵的性质：U相似于对角形矩阵
对称矩阵和正规阵的性质：
（1）不同特征值的特征向量相互正交
（2）可U对角化（只有正规阵才可U对角化）因此U对角化的条件：正规阵
- 奇异矩阵，非奇异矩阵（满秩矩阵）
奇异矩阵R（A）< n
- 正定阵
f(X)是二次型矩阵，对于任意的X，都有
$f(X)=X^TAX > 0$
则f成为正定二次型，A成为正定阵
- 半正定阵
$f(X)=X^TAX >= 0$
方程用矩阵表示
- 一次线性方程
f(x)=sum_{}b_{i}x_{i}=b^{T}X
- 二次齐次方程（只有二次项）
f(x)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}
- 二次方程的表示
f(x)=X^{T}A{X}+b^{T}{X}+c
其中第一项表示二次的项，第二项表示一次项，第三项表示常数项
- 方程的梯度计算的常用公式(通过求梯度就可以求得其全微分)
全微分的=梯度 x dx
eg:
dz=f_xdx+f_ydy=(f_x,f_y)^T(dx,dy)一次微分： 雅克比行列式
二次微分： Hessian 行列式
对角化
（1）相似对角化
- 表达式：
A=Q^{-1}diag{lambda_1,lambda_2,...lambda_n}Q
- 条件(满足一个即可)：
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）$m_A(lambda)$无重根
（3）
- 求解过程
1）令 $|A-lambda{I}|x=0$，求出特征值和特征向量$a_{1},a_{2},...a_{n}$
2）$P=(a_{1},a_{2},...a_{n})$即为特征矩阵
3）最后$A=P^{-1}AP$
（2）U对角化
- 表达式：
A=U^{-1}diag{lambda_1,lambda_2,...lambda_n}U
- 条件(满足一个即可)：
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）$m_A(lambda)$无重根
并且A是正规阵（包括对称矩阵）
- 求解过程
1）令 $|A-lambda{I}|x=0$，求出特征值和特征向量$a_{1},a_{2},...a_{n}$
2）$P=(a_{1},a_{2},...a_{n})$即为特征矩阵
3）将P化为simth标准型U
4）最后$A=U^{-1}AU$
（3）二次型对角化
- 表达式：
B=diag{a_1,a_2,..a_n}=C^TAC
将矩阵A转化为一个对角形 （左边一个行变换，右边一个相同的列变化，转化为对角形）
- 条件(满足一个即可)：
（1）A为对称矩阵
并且A是正规阵（包括对称矩阵）
- 求解过程
3.1 U相似对交互即可