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E - 娜娜梦游仙境系列——莫名其妙的插曲

Time Limit: 2000/1000MS (Java/Others) Memory Limit: 128000/64000KB (Java/Others)

Problem Description

娜娜因为帮桃花村民们解决了一大难题而受到村民们的尊敬，不过由于娜娜还想继续探索这个神奇的世界，只好恋恋不舍地与村民告别。当娜娜离开村庄的一刻，娜娜失忆了！她不记得桃花村的一切，她不记得之前吃了很多糖果，她不记得她为了过湖而跳了半天，甚至她连自己的名字都不记得了！娜娜盲目地四处溜达，突然迎面走来了一个白马王子，他问：“你是Alice吗？”。娜娜心想：“Alice？好熟的名字啊，难道这就是我的名字吗？"，便回答：”是的。请问您是？“白马王子很高兴地说：”我叫Bob，我找你找了一辈子了，没有你，我总是被父王忘记，我们回王宫吧！"于是娜娜就迷迷糊糊地被带到了王宫。

国王：“你就是Alice？怎么士别三日，你变痴呆了啊，你先和我的儿子Bob先玩一玩游戏，我看看你是不是脑子有问题。”娜娜为了证明自己脑子没问题，只好与Bob玩起了游戏。

游戏规则很简单，一开始有一个集合，集合里有n个不同的数，然后Alice(娜娜)与Bob轮流进行操作，每人都可以任意选择两个数a,b，不妨设a>b，不过要求a-b不在集合中，把a-b放入集合。如果轮到某人，无法进行任何操作，则该人输掉游戏。作为职业博弈选手，娜娜即使失忆了也能凭着身体的直觉去进行最优操作。那么问，当Alice（娜娜）与Bob都沿着最优策略进行，女士优先(即娜娜先手)，最终谁会获胜？

Input

多组数据，首先是一个正整数t（t<=20），表示数据的组数

对于每组数据，首先是一个整数n(1<=n<=1,000)，然后是n个整数x[i](0<x[i]<=1,000,000,000)，表示集合。保证集合元素不会出现相同。

Output

对于每组数据，若Alice(娜娜)最终胜利，输出"Win"

若Bob最终胜利，输出"Lose"

若无法分出胜负，输出"Draw"，(均不包括双引号，注意大小写，建议复制)

Sample Input

Sample Output

Lose
Win

Hint

样例1，一开始无论娜娜选择哪两个元素，其差值均包括在集合中，故娜娜无法操作，Bob胜利，输出Lose

样例2，一开始娜娜只能选择1和6这两个元素，并把6-1=5放入集合中，则集合变为1，2，3，4，5，6 Bob无法操作，Alice(娜娜)胜利，输出Win

题意：有一个n个元素集合，两个人轮流挑两个数，必须满足两数之差不在集合中，然后把两数之差放入集合中，不能操作者为负

解法：我们注意到，每次放入集合中的是两数之差，所以集合的最大公约数是保持不变的，也就是说集合中的所有数都可以表示成集合的最大公约数的整数倍，(回忆一下辗转相除法计算最大公约数，不断地作差作差作差，最大公约数依然不变)。不妨设这个最大公约数是d，那么这个游戏是否一定会分出胜负呢？答案是肯定的，因为这个操作不会让集合增加更大的数——一直在添加小的数，终止的条件一定是集合中的所有数正好是{d,2d,3d,......,x[max]}，其中x[max]为集合中的最大数。那么最终集合有多少个数？x[max]/d个，一开始有n个即这个游戏会进行x[max]/d-n轮，最后一轮是谁，谁就输。所以只要判断x[max]/d-n的奇偶性即可。

node：解法讲的差不多了，就是求最大公约数的时候，原本我没判断m==1，就是完全遍历一遍，用了372MS，加了之后就成了0MS了。还有一种方法，循环n遍，初始化公约数为第一个数，然后每次和下一个数求公约数，再把公约数替换掉，也是到1结束判断gcd，这种应该更简单。

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3   
 4 int gcd(int a,int b)
 5 {
 6     if(b!=0) return gcd(b,a%b);
 7     else return a;
 8 }
 9   
10 int main()
11 {
12     int t,n,i,j,x[1003],g,m,ma;
13     while(scanf("%d",&t)==1)
14     {
15         while(t--)
16         {
17             scanf("%d",&n);
18             g=ma=0;
19             for(i=0;i<n;i++)
20             {
21                 scanf("%d",&x[i]);
22                 if(ma<x[i])
23                     ma=x[i];
24             }
25             for(i=0;i<n;i++)
26             {
27                 for(j=i+1;j<n;j++)
28                 {
29                     m=gcd(x[i],x[j]);
30                     if(g==0||g>m)
31                         g=m;
32                     if(m==1)break;   //当公约数为1，就不需要继续查找了，已经最小
33                 }
34                 if(m==1)break;
35             }
36             m=ma/g-n;
37             if(m%2==0)
38                 printf("Lose
");
39             else
40                 printf("Win
");
41         }
42     }
43     return 0;
44 }