Manacher算法

Manacher算法-又叫马拉车算法

概要：

Manacher算法主要用于求最长回文串,在求最长回文串的时候做了处理使长度均变成了奇数

处理方式：s[0]='$'，从s[1]开始两边都有其他符号

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：

字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中 id 为已知的（右边界最大）的回文子串的中心，mx则为id+P[id]，也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > P[j])
    P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

const int maxn=2e5+10;
int p[maxn],s[maxn],n;
void Manacher()
{
    mx=0,id=0;
    for(int i=1;s[i]!='';++i){
        p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1;
        while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]) p[i]++;
        if(i+p[i]>mx){
            mx=i+p[i];
            id=i;
        }
        
    }
}

应用：

　　求不严格增减回文串

　　求最长回文串长度

1.HDU4513-吉哥系列故事——完美队形II

题意：

　　求不严格递增的回文串满足题给情况

　　只需要在while判断回文串的长度时候加入特判条件

const int maxn=2e5+10;
int p[maxn],s[maxn],n;
#define INF 0x3f3f3f3f
int Manacher()
{
    int ans=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=1;i<n;++i){
        p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1;
        while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]&&s[i+p[i]]<=s[i+p[i]-2]) p[i]++;
        if(i+p[i]>mx){
            mx=i+p[i];
            id=i;
        }
        ans=max(ans,p[i]-1);//求最长回文串

    }
    return ans;
}

int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int m;scanf("%d",&m);
        n=0;
        s[n++]=INF;
        for(int i=1;i<=m;++i){
            s[n++]=0;
            scanf("%d",&s[n++]);
        }
        s[n++]=0;
        s[n++]=-INF;s[n]=-INF;
        printf("%d
",Manacher());
    }
}

2.POJ3974-Palindrome

题意：

　　裸题，求最长回文串

int Manacher()
{
    int ans=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=1;i<n;++i){
        p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1;
        while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]&&s[i+p[i]]<=s[i+p[i]-2]) p[i]++;
        if(i+p[i]>mx){
            mx=i+p[i];
            id=i;
        }
        ans=max(ans,p[i]-1);

    }
    return ans;
}

int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int m;scanf("%d",&m);
        n=0;
        s[n++]=INF;
        for(int i=1;i<=m;++i){
            s[n++]=0;
            scanf("%d",&s[n++]);
        }
        s[n++]=0;
        s[n++]=-INF;s[n]=-INF;
        printf("%d
",Manacher());
    }
}

学习Manacher时候看的blog：https://www.felix021.com/blog/read.php?2040