1.把 $f(x)=cos px$ 在 $[-pi,pi]$ 上展开为 Fourier 级数.
[cos px=frac{sin ppi}{pi}(frac{1}{p}+sum_{n=1}^{infty}(-1)^nfrac{2p}{p^2-n^2}cos nx).]
取 $x=0$, 则有
[frac{pi}{sin ppi}=frac{1}{p}+sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n2p}{p^2-n^2}.]
2.计算积分 $int_0^{+infty}frac{x^{p-1}}{1+x}mathrm{d}x$ ($0<p<1$).
$$int_0^{+infty}frac{x^{p-1}}{1+x}mathrm{d}x=frac{pi}{sin ppi} (0<p<1).$$
3.$Gamma$ 函数的余元公式.
对任意的 $pin (0,1)$, 有 $$Gamma(p)Gamma(1-p)=frac{pi}{sin ppi}.$$