复变函数自身运动的三个节点

复变函数自身运动的三个节点

第一个节点：Euler 公式

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta+\mathrm{i}\sin \theta .$$

第一次在复数域的视角下，把三角函数，双曲函数和指数函数统一起来.

 

第二个节点：Cauchy-Riemann 条件

 

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y }=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

 

定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，且

$$\oint_{C}f(x)\mathrm{d}z=0.$$

第三个节点：幂函数闭路积分

 

$$\oint_{C}\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}}=\left\{\begin{array}{cl}2\pi\mathrm{i},&n=0, \\ 0,&n\neq0, \end{array}\right.$$

 $ z_0\in D.$

 全部复幂级数只有负一次幂才能得到非零结果，正是这一节点导致最重要的留数理论.