96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1 3 3 2 1
/ / /
3 2 1 1 3 2
/ /
2 1 2 3

解:这道题想了很久，还是有点不明白 。但是这道题其实有个特性，其实搜索树的个数只是节点的个数有关，比如1，2，3，4，5 以3为根节点时，左搜索子树有两种情况，右搜索子树也有两种情况

给定一个有序序列 1 ... n，为了根据序列构建一棵二叉搜索树。我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，1 ... (i-1) 序列将成为左子树，(i+1) ... n 序列将成为右子树。于是，我们可以递归地从子序列构建子树。
在上述方法中，由于根各自不同，每棵二叉树都保证是独特的。

假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则
G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)G(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)

当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，则
f(i) = G(i-1)*G(n-i)f(i)=G(i−1)∗G(n−i)

综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)G(n)=G(0)∗G(n−1)+G(1)∗(n−2)+...+G(n−1)∗G(0)

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1,0);
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            //下面这个计算i个节点的时候二叉树的个数
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                //计算的是从第1个节点为根节点开始计算
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

下面另外一个方面思考的方法

思路：n 构成的二叉搜索树的种数 F(n) 等于以 1～n 各个数为根节点的种数 S(i) 之和。以某个数为根节点的二叉搜索树的种数等于其左子树构成的二叉搜索树种数乘以其右子树构成的二叉搜索树的种树。即
F(n) = S(1) + S(2) + ... + S(n)。
S(i) = F(i的左子树) * F(i的右子数)。

递归

int numTrees(int n) {
    if (n == 0) return 0;
    return helper(1, n);
}

int helper(int start, int end) {
    if (start > end) {
        return 1;
    }
    int sum = 0;
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        sum += helper(start, i - 1) * helper(i + 1, end);
    }
    return sum;
}