tarjan算法与拓扑排序

算法介绍

tarjan

tarjan算法要求使有向图。
Tarjan就是一个辅助作用，把有环图缩为无环图，也就是将强联通分量缩成一个点。对于每一个节点，我们用dfn[i]记录它的时间戳，用low[i]记录它的回溯值（即不经过流图搜索树上该节点父亲能返回的最小的时间戳）。dag缩点后的数组，ins是否在栈中。
树边：dfs孩子，用其low更新本身low
返祖边：用其dfn更新本身low，注意如果是无向图中的父边不算返祖边
对于low=dfn的出栈并记录

void tarjan(int x)
{

	dfn[x]=low[x]=++cnt;
	ins[x]=1;
	st.push(x);
	for(int i=0;i<g[x].size();i++)
	{
		int q=g[x][i];
		if(dfn[q]==0)
		{
			tarjan(q);
			low[x]=min(low[x],low[q]);		
		}
		else if(ins[q]==1)
		{
			low[x]=min(low[x],dfn[q]);
		}
	}
	if(dfn[x]==low[x])
	{
		numb++;
		int q;
		do
		{
			q=st.top();
			st.pop();
			ins[q]=0;
			dag[q]=numb;
			num[numb]++;
			p[numb]+=a[q];
		}
		while(q!=x);
	}

}

拓扑排序

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。
拓扑排序步骤
统计入度，入度为0入栈，递推并更新入度，入度为0入栈，栈空结束

queue<int>q;
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=numb;i++)
	{
		if(!ind[i])
		{
			q.push(i);
			dist[i]=p[i];
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		int k=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<g1[k].size();i++)
		{
			int v=g1[k][i];
			dist[v]=max(dist[v],dist[k]+p[v]);
			ind[v]--;
			if(ind[v]==0)q.push(v);
		}
	}

例题

P3387 【模板】缩点

代码

const int maxn=100015;
int numb,cnt;

int dist[maxn];
int dag[maxn],num[maxn];
int a[maxn];
int ind[maxn];
stack<int>st;
int p[maxn],dfn[maxn],ins[100015],low[100015];
vector<int>g[maxn],g1[maxn];
void tarjan(int x)
{

	dfn[x]=low[x]=++cnt;
	ins[x]=1;
	st.push(x);
	for(int i=0;i<g[x].size();i++)
	{
		int q=g[x][i];
		if(dfn[q]==0)
		{
			tarjan(q);
			low[x]=min(low[x],low[q]);		
		}
		else if(ins[q]==1)
		{
			low[x]=min(low[x],dfn[q]);
		}
	}
	if(dfn[x]==low[x])
	{
		numb++;
		int q;
		do
		{
			q=st.top();
			st.pop();
			ins[q]=0;
			dag[q]=numb;
			num[numb]++;
			p[numb]+=a[q];
		}
		while(q!=x);
	}

}
main(void)
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g[u].push_back(v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!dag[i])
		tarjan(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<g[i].size();j++)
	{
		int u=dag[i],v=dag[g[i][j]];
		if(u!=v)
		{
			g1[u].push_back(v);
			ind[v]++;
		}
	}
	queue<int>q;
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=numb;i++)
	{
		if(!ind[i])
		{
			q.push(i);
			dist[i]=p[i];
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		int k=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<g1[k].size();i++)
		{
			int v=g1[k][i];
			dist[v]=max(dist[v],dist[k]+p[v]);
			ind[v]--;
			if(ind[v]==0)q.push(v);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=numb;i++)
	ans=max(ans,dist[i]);
	cout<<ans;
}