前言
当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的对称性习题；
常见结论
- 注意：此时只涉及一个函数，是函数自身具有的对称性，而不是两个函数之间的对称；
1、若函数(y=f(x))关于原点((0，0))对称，则(f(-x)=-f(x))或(f(x)+f(-x)=0)，反之亦成立；
2、若函数(y=f(x))关于直线(x=a)对称，则(f(a+x)=f(a-x))，反之亦成立；
3、若函数(y=f(x))满足(f(a+x)=f(b-x))，则其图像关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称，反之亦成立；
4、若函数(y=f(x))图像是关于点(A(a，b))对称，则充要条件是(f(x)+f(2a-x)=2b)。
给出方式
- 1、以图像的形式给出；
解读图像，从图像中我们就可以找出对称轴。
- 2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例]；
比如奇函数，(f(-x)=-f(x))或者(f(-x)+f(x)=0Longrightarrow) 对称中心为((0，0))
比如偶函数，(f(-x)=f(x))或者(f(-x)-f(x)=0Longrightarrow) 对称轴为(x=0)
- 3、以奇偶性的拓展形式给出；
比如(f(2+x)+f(-x)=2)，则对称中心为((1，1))；
比如(f(x)=f(4-x))，则对称轴为(x=2)，原因解释
- 4、以周期性+奇偶性的形式给出；
如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(x+4)=-f(x))，
则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (ig}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)
对称性应用
分析：由题目可知(f(x)+f(-x)=2)，即函数(f(x))图像关于点((0，1))对称，
而函数(y=cfrac{x+1}{x}=1+cfrac{1}{x})图像也关于点((0，1))对称，即两个函数图像有相同的对称中心，
那么二者的交点个数一定有偶数个，如图所示， 可知对横坐标而言有(sumlimits_{i=1}^m{x_i}=0)，
而对纵坐标而言，成对的点的个数是(cfrac{m}{2})个，他们中的每一对满足(cfrac{y_1+y_m}{2}=1)，
即(y_1+y_m=2)，故(sumlimits_{i=1}^m{y_i}=2cdot cfrac{m}{2}=m)，
故(sumlimits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=sumlimits_{i=1}^m{x_i}+sumlimits_{i=1}^m{y_i}=m)，故选B。
分析：函数(f(x)(xin R))满足(f(x)=f(2-x))，则函数的对称轴是直线(x=1)，
而函数(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|)的对称轴也是直线(x=1)，作出函数的图像如右图所示，
则二者的交点个数(m)一定是偶数个，两两配对的个数为(cfrac{m}{2})，比如(A) (B)配对，
则有(cfrac{x_1+x_m}{2}=1)，(x_1+x_m=2)，故(sumlimits_{i=1}^m{x_i}=cfrac{m}{2}cdot 2=m)，故选(B)。
分析：由于函数(f(x))是复合函数，定义域要使(x>0，2-x>0)，即定义域是((0，2))，
又(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1])，则由复合函数的单调性法则可知，
在((0，1))上单增，在((1，2))上单减，故排除(A)，(B)；
若函数(y=f(x))关于点((1，0))对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)+f(2-x)=0)；
若函数(y=f(x))关于直线(x=1)对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)=f(2-x))；
接下来我们用上述的结论来验证，由于(f(x)=lnx+ln(2-x))，
(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx)，即满足(f(x)=f(2-x))，故函数(y=f(x))的图像关于直线(x=1)对称，选(C)；
再来验证(D)，发现(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)] eq 0)，(D)选项不满足。故选(C)。
分析：由于函数(f(x))的定义域为(R)，且在([0,+infty))上单调递增，
故函数(g(x)=-f(|x|))在([0,+infty))上单调递减，且为偶函数，
故(g(lgx)>g(1))即可以变形为(g(|lgx|)>g(1))，则由单调性可知，
(|lgx|<1)，即(-1<lgx<1)，解得(cfrac{1}{10}<x<10)，故选(C)。
提示：由于函数满足(f(x)=f(2-x))，故函数(f(x))关于直线(x=1)对称，选(D)。
引申：(f(x)=e^x+e^{1-x})；(g(x)=e^x+e^{-x})；
分析：令内函数(g(x)=4x-x^2>0)，得到定义域((0，4))，又(g(x)=-(x-2)^2+4)，故内函数在((0，2])单减，在([2，4))单增，外函数只有单调递增，故复合函数(f(x))在((0，2])单减，在([2，4))单增，故排除(A)、(B)；
要验证(C)选项，只需要验证(f(x)=f(4-x))即可，这是(y=f(x))的图像关于直线(x=2)对称的充要条件；
而(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x))，故选(C)。
若要验证(D)选项，只需要利用(y=f(x))的图像关于点((2，0))对称的充要条件，即验证(f(x)+f(4-x)=0)即可。自行验证，不满足。
故本题目选(C).