复合函数

前言

复合函数是高中数学中的一大难点。

复合函数

定义：设函数(y=f(u))和(u=g(x))，则函数(y=f[g(x)])称为由(y=f(u))和(u=g(x))复合而成的复合函数，其中函数(y=f(u))常常称为外函数，函数(u=g(x))常常称为内函数，其中内函数的值域必须是外函数的定义域的子集。
复合函数的拆分：如(y=(cfrac{1}{2})^{2x^2+3x-1})，拆分为(y=(cfrac{1}{2})^u)和(u=2x^2+3x-1)两个函数。

典例剖析

涉及复合函数的定义域

注意：①(f(x+2))和(f(2^x-3))中，由于自变量整体(x+2)和(2^x-3)接受同样的对应法则的作用，故所受的限制应该是一样的，即两个自变量整体的取值范围应该是一样的；②已知定义域或求解定义域都是针对单独的自变量(x)而言。

例1已知函数(f(x))的定义域是([-1，1])，求函数(f(2x+1))的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则(f)作用的(x)和(2x+1)是处于对等位置的，其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，

都是针对单独的自变量(x)而言，据此可知由于(-1leq xleq 1)，故(-1leq 2x+1leq 1)，

解得函数(f(2x+1))的定义域是(xin [-1，0])。

例2已知函数(f(x+1))的定义域是([0，1])，求函数(f(2^x-2))的定义域。

分析：这里同样你得清楚(x+1)和(2^x-2)是对等的，

先由(xin[0，1])，计算得到(1leq x+1leq 2)，故(1leq 2^x-2leq 2)，

解得(3leq 2^xleq 4)，同时取以2为底的对数得到(log_2^3leq xleq 2)，

则所求定义域是(xin [log_2^3，2])。

例3已知函数(f(2x+1))的定义域是([-1，1])，求函数(f(x))的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是([-1，1])，

即函数(f(2x+1))的自变量(x)的取值范围是([-1，1])，

故内函数(2x+1)的取值范围这样求解，

由(-1leq x leq 1)，得到(-2leq 2x leq 2)，

所以(-1=-2+1leq 2x+1 leq 2+1=3)，

又由于(2x+1)和(x)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以(f(x))的(x)的取值范围应该是(-1leq xleq 3)，

故函数(f(x))的定义域是([-1，3])。

复合函数的值域

例4【2019河南普通高中高考适应性考试】已知函数(f(x)=log_{0.5}(sinx+cos^2x-1))，(xin (0,cfrac{pi}{2}))，则(f(x))的取值范围是_____________。

分析：设(g(x)=sinx+cos^2x-1)，(xin (0,cfrac{pi}{2}))，则(g(x)=sinx-sin^2x=-(sinx-cfrac{1}{2})^2+cfrac{1}{4})，

又(0<sinx<1)，故当(sinx=cfrac{1}{2})时，(g(x)_{max}=cfrac{1}{4})，即(0<g(x)leqslant cfrac{1}{4})，

故(f(x)=log_{0.5}g(x)geqslant log_{0.5}cfrac{1}{4}=2)，故(f(x)in [2，+infty))。

复合函数的单调性

例4已知函数(f(x)=log_2(x^2-3x+2))，求其单调性。

分析：令(u=x^2-3x+2)，则原复合函数拆分为外函数(y=f(u)=log_2u)和内函数(u=x^2-3x+2)

由(u=x^2-3x+2>0)，解得(xin (-infty，1)cup(2，+infty))，

即此复合函数的定义域为(xin (-infty，1)cup(2，+infty))。

那么要研究其单调性，必须先在上述定义域范围内，定义域优先原则。

然后由(u=x^2-3x+2=(x-cfrac{3}{2})^2-cfrac{1}{4})，

则内函数(u(x))在区间((-infty，1))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增，

而外函数(y=f(u)=log_2u)只是单调递增的，

故复合函数(f(x))在区间((-infty，1))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增。

例5【求复合函数的单调区间】【2018天津模拟】

已知函数(y=f(x)(xin R))的图像如图所示，则函数(g(x)=f(log_ax)(0<a<1))的单调递减区间为【】

$A.[0，cfrac{1}{2}]$ $B.[sqrt{a}，1]$ $C.(-infty，0)cup[cfrac{1}{2}，+infty)$ $D.[sqrt{a}，sqrt{a+1}]$

分析：由图可知，外函数(f(x))在区间((-infty，0))和([cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，在区间([0，cfrac{1}{2}])上单调递增，

又(0<a<1)时，内函数(y=log_ax)在区间((0，+infty))上单调递减，

故要使得复合函数函数(g(x)=f(log_ax)(0<a<1))单调递减，

则需要(log_axin [0，cfrac{1}{2}])，即(0leq log_axleq cfrac{1}{2})，

解得(xin [sqrt{a}，1])，故选(B)。

已知复合函数的单调性求参数的取值范围

例6【2019届高三理科数学三轮模拟试题】若函数(f(x)=log_{0.4}(5+4x-x^2))在区间((a-1，a+1))上单调递减，则实数(a)的取值范围是【】

$A.[0，1]$ $B.(0，1)$ $C.[3，4]$ $D.(3，4)$

分析：内函数(g(x)=-(x-2)^2+9)，若要在区间((a-1，a+1))上单调递减，

则内函数需要满足条件(a+1leq 2)①；

又由于内函数必须恒为正，故需要满足(-(a-1-2)^2+9ge 0)②，

联立①②可得，(0leq aleq 1)；故选(A)。

例5【2017·合肥模拟】若函数(f(x)=log_{3a}[(a^2-3a)x])在((-infty，0))上是减少的，则实数(a)的取值范围是多少？

分析：令(g(x)=(a^2-3a)x)，由于(g(x)>0)在区间((-infty，0))上要恒成立，

则有(a^2-3a<0)，这样内函数(g(x))只能单调递减，复合函数(f(x)=log_{3a}g(x))是单调递减的，

所以外函数必须是单调递增的，故(3a>1)，由(egin{cases}a^2-3a<0\3a>1end{cases})，

解得(cfrac{1}{3}<a<3)，故(ain(cfrac{1}{3}，3))。

例6【2018湖南张家界三模用题】若函数(f(x)=log_mcfrac{4x^2+m}{x}(m>0，m eq 1))在([2,3])上单调递增，则(m)的取值范围是【】

$A.(1，36]$ $B.[36，+infty)$ $C.(1，16]cup[36，+infty)$ $D.(1，16]$

分析：令内函数为(g(x)=cfrac{4x^2+m}{x}=4x+cfrac{m}{x})，借助对勾函数可知，

函数(g(x))在((0，cfrac{sqrt{m}}{2}])上单调递减，在([cfrac{sqrt{m}}{2}，+infty))上单调递增；

由于复合函数(f(x))在([2,3])上单调递增，则可能有两种情形：

其一为外函数单调递减且内函数单调递减，其二为外函数单调递增且内函数单调递增，

则只需要满足(left{egin{array}{l}{0<m<1}\{3leqslant cfrac{sqrt{m}}{2}}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{m>1}\{cfrac{sqrt{m}}{2}geqslant 2}end{array} ight.)

解得(min varnothing)或(1<mleqslant 16)，即(min (1，16])，故选(D).

例7【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数(f(x)=log_a^;(6-ax))在([0，2])上为减函数，则实数(a)的取值范围是【】

$A.[3，+infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令(g(x)=6-ax)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，

易错之处就是只考虑单调性而不顾及定义域。

由题目可知必有(a>0)，故函数(g(x))单调递减，

考虑定义域时只要最小值(g(2)>0)即可，再考虑外函数必须是增函数，故(a>1)，

结合(g(2)>0)，解得(1<a<3)，故选(D)。

复合函数的求导

例8①设(f(x)=sin(2x+1))，求导函数(f'(x))；

分析：我们目前一般只涉及一次复合的函数如(y=f(u))和(u=g(x))，

则复合函数为(y=f[g(x)])，([f(g(x))]'=f'[g(x)]cdot g'(x))；

令(phi=2x+1)，则(y=f(x)=sinphi)，故(f'(x)=y'_x=y'_{phi}cdot phi'_x=cosphicdot 2=2cos(2x+1))；

②设(g(x)=ln(x^2+3x))，求导函数(g'(x))；

分析：(g'(x)=cfrac{1}{x^2+3x}cdot (x^2+3x)'=cfrac{2x+3}{x^2+3x})；

说明：函数(f(x)=x^2pm lnx)，不是复合函数，只是两个函数(y=x^2)与函数(y=lnx)之间用四则运算构成的一个新函数。

③[抽象复合函数的求导]设(g(x)=xcdot f(2x))，求(g'(x))

分析：(g'(x)=[xcdot f(2x)]'=x'cdot f(2x)+xcdot f'(2x)cdot (2x)'=f(2x)+2xcdot f'(2x))

注意：复合函数求导时的运算，如对(y=ln(cfrac{1+x}{1-x}))直接求导，不如变形为(y=ln(1+x)-ln(1-x))后求导；

练习若(f(x)=e^{-x})，则(f'(x)=-e^{-x})；若(f(x)=e^{2x})，则(f'(x)=2e^{2x})；

若(f(x)=cos(2x+cfrac{pi}{3}))，则(f'(x)=-2sin(2x+cfrac{pi}{3}))；

若已知(f(2x+3))，则([f(2x+3)]'=2f'(2x+3))；

已知复合函数的定义域或值域为(R)，求参数的取值范围；

例8已知函数(f(x)=ln(x^2+2ax-a))，

①如果函数的定义域是(R)，求参数(a)的取值范围；

预备：先想一想，这个函数的定义域应该怎么求解？

分析：由于函数的定义域是(R)，说明对任意的(xin R)，都能使得(g(x)=x^2+2ax-a>0)，

转化为二次函数恒成立问题了，(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合，函数(g(x))开口向上，和(x)轴没有交点，则(Delta <0)，

即(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)<0)，解得(ain (-1，0))。

②如果函数的值域是(R)，求参数(a)的取值范围；

分析：如右图所示，要使得函数(f(x))的值域是(R)，说明内函数(g(x)=x^2+2ax-a)必须要能取遍所有的正数，结合下图，

如果有一部分正实数不能取到，那么函数(f(x))的值域就不会是(R)，这样只能是函数(g(x))的(Delta ge 0)，

而不能是(Delta <0)，注意现在题目要求是值域为(R)，而不是定义域为(R)，

因此必须满足条件(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)ge 0)，解得(ain {amid aleq -1 ，age 0})。

下图是参数(ain [-3，3])时的两个函数图像的动态变化情况；

下图是参数(ain (-1，0))时的两个函数图像的动态变化情况；

涉及图像的复合函数问题

例9已知函数(y=f(x))和(y=g(x))在([-2，2])上的图像如图所示，给出下列四个命题：

①方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根；②方程(g[f(x)]=0)有且仅有(3)个根；

③方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根；④方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根；

则正确的命题有 _______________。①③④

【法1】：从里向外分析，重新配图；得空整理；

对于命题①而言，复合函数为(f[g(x)])；为什么如下选择区间？理由^[1]

在([-2，x_0])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(-2)]=f(-2)=-2)，(f[g(x_0)]=f(-1)=1)，其中(g(x_0)=-1);

在([x_0，x_1])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(x_1)]=f(0)=0)，其中(g(x_1)=0)；

在([x_1，x_2])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(x_2)]=f(1)=-1)，其中(g(x_2)=1)；

在([x_2，-1])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(-1)]=f(2)=2)；

在([-1，0])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(0)]=f(1)=-1)；图中未说明，假定(g(0)=1);

在([0，1])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(1)]=f(-0.3)=0.4)；(g(1)=-0.3)，(f(-0.3)=0.4)为估算值；

在([1，x_3])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(x_3)]=f(-1)=1)，其中(g(x_3)=-1)；

在([x_3，2])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(2)]=f(-2)=-2)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根；故①正确；

对于命题②而言，复合函数为(g[f(x)])；

在([-2，x_4])上，(g[f(x)] earrow)，(g[f(-2)]=g(-2)=-2)，(g[f(x_4)]=g(-1)=2)，其中(f(x_4)=-1);

在([x_4，x_5])上，(g[f(x)]searrow)，(g[f(x_5)]=g(0)=1)，其中(f(x_5)=0)；

在([x_5，-1])上，(g[f(x)]searrow)，(g[f(-1)]=g(1)=-0.3)；

在([-1，0])上，(g[f(x)] earrow)，(g[f(0)]=g(0)=1)；

在([0，1])上，(g[f(x)] earrow)，(g[f(1)]=g(-1)=2)；

在([1，x_6])上，(g[f(x)]searrow)，(g[f(x_6)]=g(1)=0)，其中(f(x_6)=1)；

在([x_6，2])上，(f[g(x)]searrow)，(g[f(2)]=g(2)=-2)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根；故②错误；

对于命题③而言，复合函数为(f[f(x)])；

在([-2，x_4])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(-2)]=f(-2)=-2)，(f[f(x_4)]=f(-1)=1)，其中(f(x_4)=-1);

在([x_4，x_5])上，(f[f(x)]searrow)，(f[f(x_5)]=f(0)=0)，其中(f(x_5)=0)；

在([x_5，-1])上，(f[f(x)]searrow)，(f[f(-1)]=f(1)=-1)；

在([-1，0])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(0)]=f(0)=0)；

在([0，1])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(1)]=f(-1)=1)；

在([1，x_6])上，(f[f(x)]searrow)，(f[f(x_6)]=f(1)=-1)，其中(f(x_6)=1)；

在([x_6，2])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(2)]=f(2)=2)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根；故③正确；

对于命题④而言，复合函数为(g[g(x)])；

在([-2，x_0])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(-2)]=g(-2)=-2)，(g[g(x_0)]=g(-1)=2)，其中(g(x_0)=-1);

在([x_0，x_1])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(x_1)]=f(0)=0)，其中(g(x_1)=0)；

在([x_1，x_2])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(x_2)]=g(1)=-0.3)，其中(g(x_2)=1)；

在([x_2，-1])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(-1)]=g(2)=-2)；

在([-1，0])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(0)]=g(1)=0)；

在([0，1])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(1)]=g(0)=1)；

在([1，x_3])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(x_3)]=g(-1)=2)，其中(g(x_3)=-1)；

在([x_3，2])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(2)]=f(-2)=-2)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根；故④正确；

综上所述，正确的命题有①③④。

法2：从外向里分析，由图像可知，(-2leqslant g(x)leqslant 2)，(-2leqslant f(x)leqslant 2)，

对于命题①而言，由于满足方程(f[g(x)]=0)的(g(x))有(3)个不同值，由于每个值(g(x))又对应了(2)个(x)值，故满足(f[g(x)]=0)的(x)值有(6)个，即方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根，故命题①正确；

[图像使用方法说明]：由(y=f(x))的图像可以看出，使得(f(x)=0)的三个零点值分别为(x_1=-1.6)，(x_2=0)，(x_3=1.6)[估算]，

在函数(y=g(x))的图像中，分别做直线(g(x)=-1.6)，(g(x)=0)，(g(x)=1.6)，每一条直线和函数(y=g(x))都有(2)个交点，故共有(6)个交点。

对于命题②而言，由于满足方程(g[f(x)]=0)的(f(x))有(2)个不同值，从图中可知，每一个值(f(x))，一个(f(x))的值在((-2，-1))上，另一个(f(x))的值在((0，1))上，当(f(x))的值在((-2，-1))上时，原方程有一个解；当(f(x))的值在((0，1))上时，原方程有(3)个解，故满足(g[f(x)]=0)的(x)值有(4)个，即方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根，故命题②不正确；

对于命题③而言，由于满足方程(f[f(x)]=0)的(f(x))有(3)个不同值，从图中可知，一个(f(x))的值在((-2，-1))上，一个(f(x))的值为(0)，另一个(f(x))的值在((1，2))上；当(f(x)=0)对应了(3)个不同的(x)值，当(f(x))在((-2，-1))上时，只对应一个(x)值；当(f(x))的值在((1，2))上时，也只对应一个(x)的值，故满足(f[f(x)]=0)的(x)值有(5)个，即方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根，故命题③正确；

对于命题④而言，由于满足方程(g[g(x)]=0)的(g(x))有(2)个不同值，从图中可知，每个(g(x))的值对应(2)个不同的(x)值，故满足(g[g(x)]=0)的(x)值有(4)个，即方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根，故命题④正确；

综上所述，正确的命题有①③④。

上次编辑时间：2019-07-21

当我们先选择函数(g(x))的区间为([-2，-1])时，此时虽然能保证内函数(g(x))单调递增，但是此时内函数的值域(g(x)in [-2，2])，其投射到外函数(f(x))上时，就放置到了外函数(f(x))的定义域([-2，2])内，此时外函数的单调性不唯一，说明我们一开始选取的内函数的研究区间([-2，-1])有些大了，所以需要压缩；一直压缩到([-2，x_0])，其中(g(x_0)=-1)，这时候内函数的值域(g(x)in [-2，-1])，刚好投射到外函数的单调递增区间上，说明此时的区间选取是恰当合理的，其他的区间选取与此同理同法； ↩︎

复合函数

前言

相关函数

复合函数

典例剖析