前言
消参的常用方法有：代入消参法，加减消参法，乘除消参法，平方消参法[或变形后平方消参]，组合消参法等。
方法例说
- 代入消参法
引例如，直线(left{egin{array}{l}{x=1+t①}\{y=2-t②}end{array} ight.(t为参数))，
将(t=x-1)代入②，得到(y=2-(x-1))，
即(x+y-3=0)，代入消参完成。
- 加减消参法
依上例，两式相加，得到(x+y-3=0)，加减消参完成。
- 乘除消参法
引例1如，(egin{cases}x=t cos heta①\y=t sin heta②end{cases}(t为参数)) ，
针对要作分母的(cos heta)分类讨论如下：
当(cos heta=0)时，直线为(x=0)；
当(cos heta eq 0)时，由(cfrac{②}{①})，两式相除得到(y=tan hetacdot x)
引例2如，(egin{cases}y=k(x-2)\y=cfrac{1}{k}(x+2)end{cases}(k为参数))
两式相乘，消去参数(k)，得到(y^2=x^2-4(y eq 0))，[1]
- 平方消参法
引例如，圆的参数方法(left{egin{array}{l}{x=1+2cos heta①}\{y=2+2sin heta②}end{array} ight.( heta为参数))，
先变形为(left{egin{array}{l}{x-1=2cos heta①}\{y-2=2sin heta②}end{array} ight.( heta为参数))，
①②两式同时平方，再相加，得到
((x-1)^2+(y-2)^2=4)，到此平方消参完成。
- 组合法
引例如，曲线的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2s^2①}\{y=2sqrt{2}s②}end{array} ight.(s为参数))，
- 法1，使用代入消参法，由②得到(s=cfrac{y}{2sqrt{2}})，
代入①整理得到，(y^2=4x)；
- 法2，平方法+除法消参法，由(cfrac{②^2}{①})，整理得到，(y^2=4x)；
再如曲线的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=t-cfrac{1}{t}①}\{y=t+cfrac{1}{t}②}end{array} ight.(t为参数))，
分析：给①式平方得到，(x^2=t^2+cfrac{1}{t^2}-2③)，
给②式平方得到，(y^2=t^2+cfrac{1}{t^2}+2④)，
(④-③)，得到(y^2-x^2=4)，消参完成，
本题使用了平方消参法和加减消参法。
注意事项
- 参数方程消参以后需要特别注意的是，消参前后的表达式要等价，这一点常常与我们学习的函数的值域有关。举例如下：
分析：用带入法消掉参数(t)，得到其普通方程为(x=3(y+1)+2)，即(x-3y-5=0)。这是直线。
但是，参数(t)有范围，故(x)和(y)都应该有范围。
比如，(x=3t^2+2in [2，77])，由于(y=cfrac{x-5}{3})是单调函数，故不需要再限制(y)的范围，
即表示的曲线为(x-3y-5=0(2leqslant xleqslant 77))，即为一条线段。
分析：由题目可知，( ho^2(cos^2 heta-sin^2 heta)=4)，
即(x^2-y^2=4)，即(cfrac{x^2}{4}-cfrac{y^2}{4}=1)，等轴双曲线，有左右两支；
但是题目要求(cfrac{3pi}{4}< heta<cfrac{5pi}{4})，则符合题目的只有双曲线的左支，
故其普通方程为(x^2-y^2=4(xleq -2))
说明：极坐标方程也存在等价问题。
分析：两式相乘，消去参数(k)，得到(y^2=x^2-4)，即(x^2-y^2=4)，
那么转化前后，是否等价，该考虑什么？其实只需要考虑其上的特殊点。
(x^2-y^2=4)是焦点在(x)轴的等轴双曲线，顶点是((pm2，0))，
若(y=0)，则(x=2)且(x=-2)，这不可能。故(y eq 0)，
故所求的普通方程为(x^2-y^2=4(y eq 0))
例题赏析
分析：由于(k^2+cfrac{1}{k^2}=(k-cfrac{1}{k})^2-2)，利用此公式消参，得到
(cfrac{x}{p}=(cfrac{y}{p})^2+2)，即(y^2=px-2p^2)，
即中点(P)的轨迹方程为(y^2=px-2p^2)。
(2)、求线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程。
分析【法1】：设直线(AB)的方程为(y=kx)，点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))
与圆(C_1)联立，消(y)得到，((1+k^2)x^2-6x+5=0)，
由(Delta =(-6)^2-4 imes 5(1+k^2)>0)，可得(k^2<cfrac{4}{5})，
由韦达定理可得，(x_1+x_2=cfrac{6}{1+k^2})，
则线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cfrac{3}{1+k^2}①}\{y=cfrac{3k}{1+k^2}②}end{array} ight.)，其中(-cfrac{2sqrt{5}}{5}<k<cfrac{2sqrt{5}}{5})，
如何消参数呢？两式相比，得到(y=kx)，即(k=cfrac{y}{x})，
代入①变形整理后得到，((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，
又由于(k^2<cfrac{4}{5})，得到(cfrac{5}{3}<xleq 3)，
故线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程为((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，其中(cfrac{5}{3}<xleq 3)。
分析：两式相除，得到(y=tx)，即(t=frac{y}{x})，代入①式，
得到(x(1+frac{y^2}{x^2})=3)，两边乘以(x)得到(x^2(1+frac{y^2}{x^2})=3x)，
即(x^2+y^2=3x),((frac{5}{3}<xleqslant 3))
分析：给①式平方得到，(x^2=cfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}=cfrac{t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}③)，
给②式平方得到，(y^2=cfrac{(4t)^2}{(1+t^2)^2}=cfrac{16t^2}{t^4+2t^2+1}④)，
为消掉参数，需要给④式两边同除以(4)得到，(cfrac{y^2}{4}=cfrac{4t^2}{t^4+2t^2+1}⑤)，
③+⑤得到，(x^2+cfrac{y^2}{4}=cfrac{t^4+2t^2+1}{t^4+2t^2+1}=1).
故所求的普通方法为(x^2+cfrac{y^2}{4}=1).
解后反思：平方后，调整系数再相加，利用分式的和为常数，可以消掉参数；
法1：利用平方法+和差法，(①^2+②^2)得到，(x^2+y^2=2)；即其普通方程为(x^2+y^2=2)；
法2：利用(sin^2 heta+cos^2 heta=1)消参，由已知方程反解得到，
(sin heta=cfrac{x+y}{2})，(cos heta=cfrac{x-y}{2})，
两式平方得到，((cfrac{x+y}{2})^2+(cfrac{x-y}{2})^2=1)，
整理得到，(x^2+y^2=2)。
解后反思：消参的途径可能不唯一；
分析：给①式的两边平方得到，(x^2=a^2+1+cfrac{1}{4a^2}③)；
给②式的两边平方得到，(y^2=a^2-1+cfrac{1}{4a^2}④)；
两式相减，③-④得到，(x^2-y^2=2)；
难点题目
(1)若(t)为常数，( heta)为参数，判断方程表示什么曲线？
分析：观察参数( heta)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。
由于已知(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta①}\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta②}end{array} ight.)，故分类讨论如下：
(1^{circ})、当(t eq pm1)时，由①得到(sin heta=cfrac{x}{t+frac{1}{t}})，由②得到(cos heta=cfrac{y}{t-frac{1}{t}})，
平方相加得，(cfrac{x^2}{(t+frac{1}{t})^2}+cfrac{y^2}{(t-frac{1}{t})^2}=1)，
其表示的是中心在原点， 长轴长为(2|t+cfrac{1}{t}|)，短轴长为(2|t-cfrac{1}{t}|)，焦点在(x)轴上的椭圆；
(2^{circ})、当(t= pm1)时，此时(y=0)，(x=pm 2sin heta)，则(xin [-2，2])，
其表示的是以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的线段；
综上可知，
当(t eq pm1)时，原方程表示焦点在(x)轴的椭圆；
当(t=pm 1)时，原方程表示以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的线段；
(2)若( heta)为常数，(t)为参数，方程表示什么曲线？
分析：观察参数(t)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。
由于已知(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta①}\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta②}end{array} ight.)，故分类讨论如下：
(1^{circ})、当( heta eq cfrac{kpi}{2}(kin Z))时，由①得到(cfrac{x}{sin heta}=t+cfrac{1}{t})，
由②得到(cfrac{y}{cos heta}=t-cfrac{1}{t})，平方相减得到，
(cfrac{x^2}{sin^2 heta}-cfrac{y^2}{cos^2 heta}=4)，即(cfrac{x^2}{4sin^2 heta}-cfrac{y^2}{4cos^2 heta}=1)，
其表示的是中心在原点，实轴长为(4|sin heta|)，虚轴长为(4|cos heta|)，焦点在(x)轴上的双曲线；
(2^{circ})、当( heta=kpi(kin Z))时，(x=0)，它表示(y)轴；
(3^{circ})、当( heta=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))时，(y=0)，(x=pm(t+cfrac{1}{t}))，
当(t>0)时，(x=t+cfrac{1}{t}ge 2)，当(t<0)时，(x=-(t+cfrac{1}{t})leq 2)，
则(|x|ge 2)，方程(y=0(|x|ge 2))表示(x)轴上以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的向左、向右的两条射线；
综上可知，
当( heta eq cfrac{kpi}{2}(kin Z))，方程表示焦点在(x)轴上的双曲线；
当( heta=kpi(kin Z))时，(x=0)，它表示(y)轴；
当( heta=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))时，方程表示(x)轴上以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的向左、向右的两条射线；
由于(k eq 0)，当(y=0)时，需要(x=2)且(x=-2)，这是不可能的，故(y eq 0)。 ↩︎