穿针引线法的前世今生

前言

前世方法

穿针引线法的前世--零点分区间讨论法

说起穿针引线法，不得不说零点分区间讨论法，比如碰到高次不等式，也有人这样来解。

比如解不等式((x+1)(x-2)(x+3)>0)，为便于表述令(P=(x+1)(x-2)(x+3))，

先找到零点(x=-3，x=-1，x=2)，然后分区间列表得到

[egin{array}{c |ccccccc} x范围& x<-3&x=-3&-3<x<-1&x=-1&-1<x<2&x=2 &x>2\ hline P的值& - & 0 &+& 0 & - & 0 & + \ end{array}]

由表格就可以得到不等式的解集({xmid -3<x<-1 或x>2})。

这和绝对值不等式的解法中的零点分区间讨论法是一样的。后来有人对此方法做了改进，就得到了穿针引线法。

方法今生

“穿针引线法”也叫“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。(;;)标根法”，或“数轴穿根法”或“穿根法”。
当高次不等式(f(x)>0(或<0))的左边整式，分式不等式(cfrac{phi(x)}{h(x)}>0(<0))的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积((x-a_1)(x-a_2)cdots (x-a_n))的形式，可把各因式的根标在序轴上，形成若干个区间，最右端的(f(x))，(cfrac{phi(x)}{h(x)})的值必须为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。很显然，这种方法体现了数形结合思想，所以用起来很方便。

使用步骤

我们以穿针引线法解不等式(x^3-x+2>2x^2)为例，加以说明。

第一步：一端化为(0)；先将不等式转化为(f(x)>0)为什么呢，其实这种方法是利用了高中数学中的“函数与方程”思想，做出函数(y=f(x))和数轴(y=0)，利用两个函数图像的交点来解读不等式。所以右端必须化为(0)。比如我们将不等式(x^3-x)(+2)(>2x^2)转化为(x^3)(-2x^2)(-x+)(2>0)(quad)((<0))的形式。

第二步：分解调系数；将不等式(x^3-2x^2-x+2>0)分解务必将每一个因式的最高次项的系数调整为正值，比如某不等式分解后为((2-x))((x+1))((x+3))(>0)，就必须调整为((x-2))((x+1))((x+3))(<0)，附初高中因式分解方法(quad)为((x-2))((x-1))((x+1)>0)；

第三步：变等求零点；将上述的不等式(f(x)>0)的不等号变成等号即(f(x)=0)，求出函数(f(x))的零点；如令((x-2)(x-1)(x+1)=0)；得到零点为(x=-1，x=1，x=2)

第四步：序轴并标根；在序轴上从左到右按照大小依次标出各根(-1，1，2)。

第五步：划线穿序轴；以序轴为标准，从“最右端的根(2)”的右上方穿过序轴，往左下画线，然后又穿过“次右根(1)”上去，一上一下依次穿过各根。

第六步：读图写解集；观察不等号，如果不等号为(>)，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为(<)，则取数轴下方，穿根线以内的范围。

比如不等式((x-2)(x-1)(x+1)>0)的解集为({xmid -1<x<1或x>2})。

可以简单记为秘籍口诀：自上而下，自右而左，奇穿偶不穿；

注意事项

使用“穿针引线法”时，常犯以下的几种错误：

①如将不等式分解为((x+2)(1-x)(x+3)>0)解直接穿根，错在需要将其调整为((x+2)(x-1)(x+3)<0)再穿根；

当然不等式((x+2)(x^2-1)<0)也不能直接穿根，因为没有分解到最后；

②没有分清重根的奇偶，比如不等式((x-0.5)^2(x-1)(x-2)^3>0)，其中根(x=0.5)是二次重根(偶次重根)，根(x=1)是一次重根(奇次重根)，根(x=2)是三次重根(奇次重根)，故穿根时，在(x=2)和(x=1)出都是一次穿过，而在根(x=0.5)处，是穿而不过，就像蜻蜓点水一样。

③出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”，如(x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0)也可以用，先化为(x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0)，注意到二次三项式(x^2+x+1)由于其(Delta <0)，故(x^2+x+1>0)恒成立，所以原不等式等价于(x(x+1)(x-2)(x-1)>0)，穿针引线法如右图得到解集({xmid x<-1或0<x<1或x>2})。

④以为只可以用来解高次不等式，不能用来解分式不等式，比如解分式不等式(cfrac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)}>0)，利用符号法则，就可以等价转化为(x(x+1)(x-2)(x-1)>0)，故解集同上。具体解分式不等式时，我们甚至不需要将其转化为整式不等式，直接穿根就行了。

适用范围

可以用来解高次不等式和分式不等式，当然也可以解一次和二次不等式。等到使用熟练后，我们利用心算能力就可以画图写出解集了。

对应练习

可以使用转化法或者穿根法求解；

解不等式(x<cfrac{1}{x}<x^2)；

分析：先转化为(left{egin{array}{l}{x<cfrac{1}{x}①}\{cfrac{1}{x}<x^2②}end{array} ight.)，再用穿根法分别求解，

解①(cfrac{x^2-1}{x}<0)得到(x<-1)或(0<x<1)；解②(cfrac{x^3-1}{x}>0)得到(x<0)或(x>1)，

①②求交集得到，解集为((-infty，-1)).

解不等式(cfrac{2}{x+1}<1)；

提示：((-infty,-1)cup(1,+infty))

解不等式(cfrac{x-2}{x^2-1}<0)；

提示：((-infty,-1)cup(1,2))

解不等式(cfrac{x^2-x-6}{x}leqslant 0)；

提示：((-infty,-2]cup(0,3])

解不等式(cfrac{6}{x-4}+1<0)；

提示：((-2,4))

解不等式((x^2-4)(x-6)^2leqslant 0)；

提示：([-2,2]cup{6});