前言
恒成立、能成立和恰成立三类命题是高三数学中比较常见的高频考查素材。
尤其是恒成立、能成立命题，让许多学生感到头疼不已。考查的频次多，难度大，所以深入思考和总结这类命题的规律显得非常必要和迫切，同时和恒成立、能成立命题紧密相连的变形技巧----分离参数法，更是非常普遍和常用的一种数学变形方法。
恒成立问题
模型：(Aleqslant f(x))在区间([m，n])上恒成立，等价于(Aleqslant f(x)_{min})；
(Ageqslant f(x))在区间([m，n])上恒成立，等价于(Ageqslant f(x)_{max})；
说明：上述模型是最精简的模型，具体题目中一般不是这样的，需要我们做相应的转化化归。
比如(ln(x+1)+cfrac{a}{x+2}>1)对任意(x>0)成立，则可以转化为(a>(x+2)[1-ln(x+1)])恒成立，
比如(x^2+e^x+age 0)对任意实数恒成立，可以化归为(age -x^2-e^x)，这样就都属于上述类型。
【常规】法1：二次函数法，由于(Delta=a^2+8>0)，故不需要考虑(Delta<0)的情形，
只需要考虑对称轴(x=-cfrac{a}{2})和给定区间([1，5])的相对位置关系
当(-cfrac{a}{2}leq 1)时，即(ageqslant -2)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递增，
所以(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2geqslant 0),解得(ageqslant 1)，又因为(ageqslant -2)，所以得到(ageqslant 1)。
当(-cfrac{a}{2}ge 5)时，即(aleqslant -10) 时，函数(f(x))在区间 ([1,5])单调递减，
所以(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2ge 0),解得(age -cfrac{23}{5})，
又因为(aleq -10)，所以得到(ainvarnothing)。
当(1<-cfrac{a}{2}<5)，即(-10<a<-2)时，(f(x)min=f(-cfrac{a}{2})=cfrac{a^2}{4}-cfrac{a^2}{2}-2≥0)，
得到(ainvarnothing)。（这种情形可以省略）
综上可得(ageqslant 1。)即(a)的取值范围是([1，+infty))
【通法】法2：【恒成立+分离参数法】两边同时除以参数(a)的系数(x)(由于(xin [1，5])，不等号方向不变)，得到
(ageqslant cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1，5])上恒成立, 转化为求新函数“(cfrac{2}{x}－x)”在([1，5])上的最大值。
这时我们一般是定义新函数，令(g(x)=cfrac{2}{x}－x)，
则利用函数单调性的结论，可以看到(g(x)=cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1，5])上单调递减，
所以(g(x)_{max}=g(1)=1)，所以(ageqslant 1)，即(a)的取值范围是([1，+infty))
【法1】：先求得对称轴(x=-cfrac{a}{2})，
①由于(Delta=a^2+8a≤0)时满足题意,解得(-8≤a≤0)，
再考虑对称轴(x=-cfrac{a}{2})和给定区间([1，5])的相对位置关系
②当(-cfrac{a}{2}≤1)时，即(a≥-2)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递增，
所以(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0),解得(-2≤a≤1)，又因为(a≥-2)，所以得到(-2≤a≤1)。
③当(-cfrac{a}{2}≥5)时，即(a≤-10)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递减，
所以(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0)，解得(a≥-cfrac{25}{3})，又因为(a≤-10)，所以得到(ainvarnothing).
④当(1<-cfrac{a}{2}<5),即(-10<a<-2)时，(f(x)_{min}=f(-cfrac{a}{2})=cfrac{a^2}{4}-cfrac{a^2}{2}-2a≥0)，
得到(-8≤a≤0),又(-10<a<-2)，所以(-8≤a<-2)（这种情形可以省略）
综上可得(a)的取值范围是([-8,1])
【法2】：分离参数法，先转化为((x-2)age -x^2，xin [1，5])
接下来就转化为了三个恒成立的命题了，
当(x=2)时，原不等式即((2-2)age -4)，(ain R)都符合题意；
当(2<x<5)时，原不等式等价于(age cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4=g(x))恒成立；
(g(x)=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4leq 2sqrt{(x-2)cdot cfrac{4}{x-2}}-4=-8)
求得当(x=4)时，(g(x)_{max}=-8)，故(age -8)
当(1<x<2)时，原不等式等价于(aleq cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4=g(x))恒成立；
(g(x)=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4ge 2sqrt{-(x-2)cdot cfrac{-4}{x-2}}-4=0)
当且仅当(x=0)时取到等号，并不满足前提条件(1<x<2)，故是错解。
此时需要借助对勾函数的单调性，函数(y=x+cfrac{4}{x})在区间([1，2])上单调递增，
那么(y=x-2+cfrac{4}{x-2})在区间([1，2])上单调递减，
(y=-(x-2)-cfrac{4}{x-2})在区间([1，2])上单调递增，(y=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4)在区间([1，2])上单调递增，
故(g(x)_{min}=g(1)=1)，故(aleq 1)
以上三种情况取交集，得到(ain [-8，1])。
易错警示：当以自变量分类讨论时，结果往往需要求交集。
能成立问题
模型：(Aleqslant f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Aleqslant f(x)_{max})；
(Ageqslant f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Ageqslant f(x)_{min})；
【法1】：同理得到(a≥cfrac{2}{x}－x)在区间([1,5])上能成立, 转化为求新函数(cfrac{2}{x}－x)在([1,5])上的最小值。
令(g(x)=cfrac{2}{x}－x，g(x)=cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1,5])上单调递减，
所以(g(x)_{min}=g(5)=-cfrac{23}{5})，所以(a≥-cfrac{23}{5})，
即(a)的取值范围是([-cfrac{23}{5}，+infty))
【法2】：求(xin [1，5])上的(f(x)_{max}ge 0)，
对称轴是(x=-a)，针对(x=-a)和给定区间的位置关系分类讨论即可，较繁琐，
①当(-aleq 1)时，即(age -1)时，(f(x))在区间([1，5])单调递增，
故(f(x)_{max}=f(5)=5a+23ge 0)，即(age -cfrac{23}{5})，
又由于(age -1)，求交集得到(age -1)；
②当(1<-a<5)时，即(-5<a<-1)时，(f(x))在区间([1，5])有减有增无单调性，
(f(x)_{max}=max{f(1)，f(5)})，
(f(1)=a-1)，(f(5)=5a+23)，
(f(5)-f(1)=4a+24in [4，20])，即(f(5)>f(1))，
故(f(x)_{max}=f(5)=5a+23ge 0)，即(age -cfrac{23}{5})，
求交集得到，(-cfrac{23}{5}leq a<-1)；
③当(-age 5)时，即(aleq -5)时，(f(x))在区间([1，5])单调递减，
故(f(x)_{max}=f(1)=a-1ge 0)，即(age 1)，
求交集得到(ain varnothing)；
综上所述，得到(ain [-cfrac{23}{5}，+infty))。即(a)的取值范围是([-cfrac{23}{5}，+infty))。
【法3】：转化为不等式(f(x)=x^2 +ax-2≥0)在区间 ([1,5])上有解，解法基本同于法2，
①当(-aleq 1)时，必须(f(5)ge 0)，解得(age -1)；
②当(1<-a<5)时，必须(f(5)ge 0)，解得(-cfrac{23}{5}leq a<-1)；
③当(-age 5)时，必须(f(1)ge 0)，解得(ain varnothing)；
综上所述，得到(ain [-cfrac{23}{5}，+infty))。
解后反思：需要注意的是，这种命题作为一种数学模型，我们还需要关注其等价的叙述方法，其中涉及考查转化划归的能力。[1]
函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上恒成立 (Longleftrightarrow forall xin [1，5])，都能使得函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)成立。
再比如： 函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上能成立，(Longleftrightarrow)不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上有解(Longleftrightarrow)不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上解集不是空集(Longleftrightarrow)不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上至少有一个解。
恰成立命题
解析：由题目可知(1+3^x+acdot 9^xge 0)的解集必须恰好是是((-infty，1])，
即((cfrac{1}{9})^x+(cfrac{1}{3})^x+age 0)的解集必须恰好是是((-infty，1])，
令((cfrac{1}{3})^x=t)，则(tin[cfrac{1}{3}，+infty))，则(g(t)=t^2+t+a>=0)的解集必须是([cfrac{1}{3}，+infty))，
则(g(cfrac{1}{3})=0)，所以(9a+4=0，a=-cfrac{4}{9})。
反思总结：本题有两种变换，其一令(3^x=tin(0，3])，变换得到(h(t)=at^2+t+1ge0)的解集必须是((0，3])；
其二令((cfrac{1}{3})^x=t)，则(tin[cfrac{1}{3}，+infty))，则(g(t)=t^2+t+a>=0)的解集必须是([cfrac{1}{3}，+infty))，
变换二比变换一要好处理、好理解一些。 图像说明
解析：(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3 ≤0)在区间 ([-1，1])上恰成立，则(f(-1)=0，f(1)=0)，解得(a= -1).
解析：(f'(x)=x^2-3x+a≤0)的解集是([-1，4])，则(4)是方程(x^2-3x+a=0)的根，故实数(a= - 4).
分析：本题目属于恰成立命题，
当(x>0)时，(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2ge 2sqrt{a}+2=4)，解得(a=1)，当且仅当(x=1)时取到等号；
当(x<0)时，(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2leq -2sqrt{a}+2=0)，解得(a=1)，当且仅当(x=-1)时取到等号；
综上可知，(a=1)。