初中部分
数学的学习是层级渐进式的，初中的数学基础会直接影响到高中数学的学习效果。
- 繁分式化简分式 ：
(cfrac{frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}}{frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}}=cfrac{(frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}) imes abc}{(frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}) imes abc}=cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a})；同乘
- 除法分配律(分数裂项)
(①cfrac{b+c}{a}=cfrac{b}{a}+cfrac{c}{a})；
(②cfrac{a-b}{ab}=cfrac{1}{b}-cfrac{1}{a})；(分式变形时常用)
- 分子常数化
化为部分分式，也可以理解为使用了变量集中策略，这样的变形在研究函数的单调性，值域等问题时使用频度比较高。
(①y=cfrac{2x-1}{x-1}=cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+cfrac{1}{x-1})；
(②y=cfrac{2x}{x+4}=cfrac{2}{1+frac{4}{x}})；
(③y=cfrac{a^x-1}{a^x+1}=cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-cfrac{2}{a^x+1})；
(④y=cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+cfrac{1}{x-1})；
【分析】由函数单调递增，转化为(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，然后分离参数得到(m≤g(x))，用均值不等式求新函数(g(x))的最小值即可。
【解答】由题目可知，(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，且(f'(x))不恒为零，
则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)在((1，+∞))上恒成立，
即(2x^2-mx+m≥0)在((1，+∞))上恒成立，常规法分离参数得到
m≤(cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)
由于(x>1)，故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8)，当且仅当(x=2)时取到等号。
故(m≤8)，当(m=8)时，函数不是常函数，也满足题意，故(m≤8)。
- 解方程理论
已知(ab=8)，(a+b=9)，求(a)，(b)的值；
分析：(a)，(b)是方程(x^2-(a+b)x+ab=0)的两个根；即(a)，(b)是方程(x^2-9x+8=0)的两个根，用十字相乘法可得，((x-1)(x-8)=0)，解得两个根为(x=1)或(x=8)。
法1：(a_1^2q^3=27)①，(a_1(q+q^2)=12)②，两式相比，得到(cfrac{a_1q^2}{1+q}=cfrac{9}{4})，
则(a_1=cfrac{9(1+q)}{4q^2})，代入②得到，(3q^2-10q+3=0)，
解得(q=3)或(q=cfrac{1}{3})(由于递增，舍去)，代入②得到，(a_1=1)，故(a_n=3^{n-1})；
法2：由等比数列性质可知，(a_2a_3=27)，(a_2+a_3=12)，
则(a_2)，(a_3)是方程(x^2-(a_2+a_3)x+a_2a_3=0)，即方程为(x^2-12x+27=0)的两个根，
解得(a_2=3)，(a_3=9)，或(a_2=9)，(a_3=3)(舍去)；
则(a_n=3^{n-1}).
集合和常用逻辑用语
这一部分的高考考察不是很多，也不是很难，但是这一模块的知识往往是后续学习的基础。
⒈动集，如何变化为空集和非空集合？
比如，动集(A={xmid 2m-1leq xleq m+2})，
当(2m-1>m+2)时，即(m>3)时，集合(A=varnothing)；
当(2m-1leq m+2)时，即(mleq 3)时，集合(A eq varnothing)；
⒉当题目中出现(Asubseteq B)时，往往需要针对(A)分类讨论。
例题：已知集合(A={xmid -3leq xleq 4})，(B={x mid 2m-1 < x < m+1 })，且(Acap B=B)时，则实数(m)的取值范围是多少？
分析：由(Acap B=B)得，(Bsubseteq A)；
①当(B=varnothing)，即(m+1leq 2m-1)，解得(mge 2)；
②当(B eq varnothing)时，需要满足(left{egin{array}{l}{2m-1< m+1}\{-3leq 2m-1}\{m+1leq 4}end{array} ight.)，
解得(-1leq m <2)；
综上，(min [-1，+infty))。
⒊混合组求解时，先解方程再代入不等式验证，要快得多。
混合组(left{egin{array}{l}{Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)>0①}\{-2(a+1)=-4②}\{a^2-1=0③}end{array} ight.)，
如由②得出(a=1)，代入其余可以口算验证是满足的，故(a=1)；