有效挖掘题目中的隐含条件[高阶辅导]

前言

高中数学中的有些条件是隐藏的身份出现的，或许命题人就是想看看你有没有继续深造数学的天赋，下面尝试对常见的隐含条件的素材做以总结，以期望引起大家的注意。

弧度制

例1【北京人大附中高一试题】已知扇形的周长是(10cm)，面积是(4cm^2)，则扇形的圆心角的弧度数是【】

$A.8$ $B.cfrac{1}{2}$ $C.8或cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：设扇形的弧长为(l)，半径为(r)，圆心角为( heta)，

由题意可得，(left{egin{array}{l}{l+2r=10}\{cfrac{1}{2}lr=4}end{array} ight.) 解得(left{egin{array}{l}{l=8}\{r=1}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{l=2}\{r=4}end{array} ight.)

故( heta=cfrac{l}{r}=8)或( heta=cfrac{1}{2})，但是扇形的圆心角( heta<2pi)，故舍去( heta=8)，选(B)。

定义域对称

例0设函数(f(x))是定义在区间([-2b，3+b])上的偶函数，即告诉了(b)的值；

分析：由于函数具有奇偶性，故定义域关于原点对称，即(-2b+3+b=0)，解得(b=3)；

例0已知函数(y=f(x))是定义在(R)上的奇函数，且(xgeqslant 0)时，(f(x)=2^x+x^3+a)，则告诉了(a)的值；

分析：在原点((0,0))有定义的奇函数，必然满足(f(0)=0)，由(f(0)=2^0+0^3+a=0)，即(a+1=0)，解得(a=-1)；

周期性给出参数值

例0设函数(f(x))是定义在(R)上且周期为(2)的函数，在区间([-1,1])上，(f(x)=left{egin{array}{l}{ax+1，-1leqslant x<0}\{cfrac{bx+2}{x+1}，0leqslant xleqslant 1}end{array} ight.)，其中(a,bin R)，若(f(cfrac{1}{2})=f(cfrac{3}{2}))，求(a,b)的值；

分析：由于函数的周期为(2)，则可知(f(-1)=f(1))，化简得到(b=-2a)①；

又已知(f(cfrac{1}{2})=f(cfrac{3}{2}))，即(f(cfrac{1}{2})=f(-cfrac{1}{2}))，化简得到(3a+2b=-2)②；

联立解得(a=2)，(b=-4)。

区间的给定

例0求函数(f(x))在区间([a^2，a])上的最大值，

分析：由于(a^2<a)，解得(0<a<1)，即题目内含了参数(a)的取值范围；

解析式含性质

此时需要注意，解不等式所需要的函数性质都涵盖在函数的解析式中，所以需要我们自主挖掘这些隐含条件。

例4【2017(cdot)榆林模拟】函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，则不等式(f(a-2)+f(a^2-4)<0)的解集是【】

$A.(sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(sqrt{3}，sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号(f)，而在此之前，需要转化为(f(M)<( 或>)f(N))的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令(cfrac{1+x}{1-x}>0)，解得定义域((-1，1))；

再求奇偶性，(f(-x)=lncfrac{1-x}{1+x}-sinx)，(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，所以(f(-x)+f(x)=0)，故函数为奇函数；

最后分析单调性，

法一，基本函数法，令(g(x)=lncfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-cfrac{2}{x-1}))，由于(u=-1-cfrac{2}{x-1})为增函数，

所以函数(g(x))为增函数，故函数(f(x)=g(x)+sinx)为((-1，1))上的增函数，

法二，导数法，(f'(x)=cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0)，故函数(f(x))为((-1，1))上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由(f(a-2)+f(a^2-4)<0)，变换得到(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2))，由定义域和单调性得到以下不等式组：

(egin{cases}-1<a-2<1\ -1<a^2-4<1 \a-2<4-a^2 end{cases})，解得(sqrt{3}<a<2)，故选(A)。

角的范围压缩

例1已知(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，且(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，求(cos2alpha)的值；

分析：由(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，则可知(2alphain [cfrac{pi}{2}，2pi])，

又由于(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5}>0)， 则可知(2alphain [cfrac{pi}{2}，pi])，则(cos2alpha=-cfrac{2sqrt{5}}{5})。

且由(2alphain [cfrac{pi}{2}，pi])可以将范围进一步压缩为(alphain [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}])。

解后反思：利用三角函数值的正负或其大小，我们可以将角的范围进行压缩，其目的还是为了利用平方关系求值后方便取舍值的正负。

例2设(alpha)、(eta)都是锐角，且(cosalpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，(sin(alpha+eta)=cfrac{3}{5})，则(coseta)等于【】

$A、cfrac{2sqrt{5}}{25}$ $B、cfrac{2sqrt{5}}{5}$ $C、cfrac{2sqrt{5}}{25}或cfrac{2sqrt{5}}{5}$ $D、cfrac{2sqrt{5}}{25}或cfrac{sqrt{5}}{5}$

分析：由已知可得：(sinalpha=cfrac{2sqrt{5}}{5})，(cos(alpha+eta)=pm cfrac{4}{5})，

若(cos(alpha+eta)=cfrac{4}{5}>cfrac{sqrt{5}}{5}=cosalpha)，则有(alpha+eta<alpha)，

即(eta<0)，这与(eta)为锐角矛盾舍去，故(cos(alpha+eta)=-cfrac{4}{5})，

所以(coseta=cos[(alpha+eta)-alpha]=cos(alpha+eta)cosalpha+sin(alpha+eta)sinalpha)

(=cfrac{2sqrt{5}}{25})，故选(A)。

三角中的辅助角

例3【2018陕西省第三次质量检测文科数学第10题改编】

已知函数(f(x)=sinomega x+acos omega x(omega>0))的最小正周期为(pi)，且函数(f(x))的图像的一条对称轴是(x=cfrac{pi}{12})，求函数(f(x))的最大值。

分析：(f(x)=sqrt{a^2+1}sin(omega x+phi))，其中(tanphi=a)，由最小正周期为(pi)，可知(omega =2)，

即(f(x)=sqrt{a^2+1}sin(2x+phi))，又由一条对称轴是(x=cfrac{pi}{12})，

则(2cdot cfrac{pi}{12}+phi=kpi+cfrac{pi}{2})，求得(phi=kpi+cfrac{pi}{3}(kin Z))，

令(k=0)，即(phi=cfrac{pi}{3})。则有(tanphi=tancfrac{pi}{3}=sqrt{3}=a)，故(f(x)_{max}=sqrt{a^2+1}=2)。

解后反思：大多时候使用辅助角公式，我们只强调辅助角的存在性，而并不注重其大小到底是多少，但是有的题目中就需要我们求出这个辅助角的大小。

判别式使用

例4直线(l)的参数方程为(egin{cases}x=cfrac{sqrt{3}}{2}t+m\y=cfrac{1}{2}tend{cases}(t为参数))，设点(P(m，0))，直线与曲线(C：(x-1)^2+y^2=1)交于(A、B)两点，且(|PA||PB|=1)，求非负实数(m)的值。

分析：将直线(l)的参数方程为(egin{cases}x=cfrac{sqrt{3}}{2}t+m\y=cfrac{1}{2}tend{cases}(t为参数))，代入曲线(C：(x-1)^2+y^2=1)，

化简为(t^2+sqrt{3}(m-1)t+m^2-2m=0)，由(Delta=3(m-1)^2-4(m^2-2m)>0)得到，(-1<m<3)，

又(m)为非负实数，故(0leq m<3)，

设点(A、B)对应的参数分别为(t_1，t_2)，则有(t_1cdot t_2=m^2-2m)，

由(|PA||PB|=1)，得到(|t_1cdot t_2|=|m^2-2m|=1)，解得(m=1)或(m=1pm sqrt{2})；

又由于(0leq m<3)，故(m=1)或(m=1+sqrt{2})。

解后反思：本题目如果不注意(Delta >0)的限制条件，就会出现增根(m=1-sqrt{2})。

例04在直角坐标系(xOy)中，直线(l)是过定点(P(4，2))且倾斜角为(alpha)的直线；在极坐标系中，曲线(C)的极坐标方程为( ho=4cos heta).

⑴写出直线(l)的参数方程，并将曲线(C)的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵若曲线(C)与直线(l)相交于不同的两点(M、N)，求(|PM|+|PN|)的取值范围.

分析：⑴直线(l)的参数方程为(egin{cases} x=4+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases}(t为参数))，曲线(C)的直角坐标方程为(x^2+y^2=4x)；

⑵课件地址

法2：通法，将(egin{cases} x=4+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases}(t为参数))代入(C：x^2+y^2=4x)，

得到(t^2+4(sinalpha+cosalpha)t+4=0)，

则必然满足条件(egin{cases} &Delta=16(sinalpha+cosalpha)^2-16>0\ &t_1+t_2=-4(sinalpha+cosalpha)\&t_1cdot t_2=4end{cases}(t为参数))，

由此得到(sinalphacdot cosalpha>0)，又(alphain [0，pi))，

故压缩范围得到(alphain (0，cfrac{pi}{2}))，又由(t_1+t_2=-4(sinalpha+cosalpha)<0)，故可知(t_1<0)，(t_2<0)，

则(|PM|+|PN|=|t_1|+|t_2|=-(t_1+t_2)=4(sinalpha+cosalpha)=4sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4}))，

由(alpha in (0，cfrac{pi}{2})) ，得到(alpha+cfrac{pi}{4}in (cfrac{pi}{4}，cfrac{3pi}{4}))，

则(cfrac{sqrt{2}}{2}< sin(alpha+cfrac{pi}{4}) leq 1)，

故$ 4sqrt{2} imes cfrac{sqrt{2}}{2}< 4sqrt{2}cdot sin(alpha+cfrac{pi}{4}) leq 4sqrt{2} imes 1 $，

即就是$|PM|+|PN|in(4，4sqrt{2}] $.

反思：本题目如果不注意(Delta >0)，则(alpha)的范围必然出错，从而导致取值范围出错。

不等式隐含条件

例05求(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}(0<x<2))的最小值。

详解：注意到隐含条件(x+(2-x)=2，x>0，2-x>0)，则容易看到题目其实为

已知(x+(2-x)=2)，(x>0，2-x>0)，求(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}(0< x <2))的最小值。

(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}=cfrac{1}{2}(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}) imes 2)

(=cfrac{1}{2}(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)])

(=cfrac{1}{2}(1+4+cfrac{2-x}{x}+cfrac{4x}{2-x}))

(ge cfrac{1}{2}(5+2sqrt{cfrac{2-x}{x}cdot cfrac{4x}{2-x}})=cfrac{9}{2})

当且仅当(cfrac{2-x}{x}=cfrac{4x}{2-x})，即(x=cfrac{2}{3})时取到等号。

解后反思：本题目如果不注意(x+(2-x)=2)的限制条件，就不会将题目顺利转化为限定条件下的均值不等式求最值问题，使用其他的思路可能会非常麻烦。

练4若不等式(log_a^2x+alog_a{x^2}+4>0)对任意(xin (0,+infty))恒成立，则实数(a)的取值范围是________________。

分析：令(log_ax=t)，由于(xin (0,+infty))，则此时不论底数(a)为何值，都有(tin R)，故原题等价转化为

(t^2+2at+4>0)对(tin R)恒成立，故只需要(Delta=4a^2-16<0)即可，解得(-2<a<2)，

又由于隐含条件(a>0)且(a eq 1)，故(ain (0,1)cup(1,2))。

练4若(log_a(a^2+1)<log_a2a<0)，则(a)的取值范围是_______________。

分析：本题目隐含条件，(a^2+1>2a)，则得到(0<a<1)，又由(log_a2a<0)，得到(a>cfrac{1}{2})，故(ain (cfrac{1}{2}，1)).

恒过定点

在下面的博文中，有分门别类的恒过定点的总结，望仔细体会。
恒过定点

解不等式隐含条件

例4关于(x)的不等式(ax-b<0)的解集是((1,+infty))，则关于(x)的不等式((ax+b)(x-3)>0)的解集是【】

$A.(-infty，-1)cup(3，+infty)$ $B.(1，3)$ $C.(-1，3)$ $D.(-infty，1)cup(3，+infty)$

分析：由不等式(ax-b<0)的解集是((1,+infty))，即(ax<b)的解集是((1,+infty))，则(a=b<0)，

故不等式((ax+b)(x-3)>0)可化为((x+1)(x-3)<0)，解得(-1<x<3)，故选(C).

比如特别注意：(x^2pm x+1>0)；(|x|ge 0)；(x^2ge 0)；(e^x>0)，(e^{-x}>0)

在具体题目中，

• (cfrac{e^x(2ax^3-3ax^2+2bx-b)}{x^2}=0)，可以等价转化为(2ax^3-3ax^2+2bx-b=0)
  

• (cfrac{e^x(x+1)(x-2)}{x}>0)可以等价转化为(cfrac{(x+1)(x-2)}{x}>0)，
  

• (cfrac{x^2-4x+3}{e^x}>0)可以等价转化为((x-1)(x-3)>0)；
  

已知性质推未知性质。

①熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

比如对称性+奇偶性(Longrightarrow)周期性的变形例子

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(2-x)=f(x))，

则由(egin{align*} f(2-x)&=f(x) \ - f(-x)&= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow)周期(T=4)

奇偶性+周期性(Longrightarrow)对称性的变形例子

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(x+4)=-f(x))，

则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)

对称性+周期性(Longrightarrow)奇偶性的变形例子

如，已知函数(f(x))的周期是2，且满足(f(2+x)=f(-x))，

则由(egin{align*} f(2+x) &=f(-x) \ f(2+x) &= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(-x)= f(x)Longrightarrow)函数(f(x))是偶函数。

②奇偶性、单调性和定义域来推导：(x>0)时，(f(x)>0)，

【2017天津高考卷】已知奇函数(f(x))在(R)上是增函数，则有(x>0)时，(f(x)>0)，(f(0)=0)，(x<0)时，(f(x)<0)，

数列变形方向

• 已知(S_n=2a_n+3)，求通项公式(a_n)，由于所求与(S_n)无关，故需要消去(S_n)类。

• 已知(S_{n+1}=S_n+2n+1)，令(b_n=a_n+1)，求证数列({b_n})是等比数列，则先需要消去(S_n)类，得到结果为(a_{n+1}=3a_n+2)，再给两边同时加常数(1)，这样的变形都是从题目中可以看出来的。

• 出现(b_n=cfrac{1}{a_ncdot a_{n+1}})，则可能需要裂项相消法。

解析式

例4已知函数(f(x))满足(f(cfrac{2}{x+|x|})=log_2sqrt{x|x|})，则(f(x))的解析式是___________。

分析：由给定的解析式可知，题目中隐含条件(x>0)，

那么在(x>0)的前提下，可以化简(f(cfrac{2}{x+x})=log_2sqrt{xcdot x})，

即(f(cfrac{1}{x})=log_2 x)，代换得到所求的解析式为(f(x)=-log_2x(x>0)).

导数

例4【2019河南联考】已知曲线(f(x)=x+cfrac{a}{x}+b(x eq 0))在点((1,f(1)))处的切线方程为(y=2x+5)，则(a-b)=_____________。

分析：求(f(1))的值，不是利用(f(x))求解，而是利用(y=2x+5=7)解得，故(f(1)=7)。