例说数学学习中的四基

四基提法

(hspace{1cm})“四基”就是基础知识、基本就能、思想方法、活动经验，以前的学习中习惯把基础知识和基本技能称双基，后来添加了思想方法，就成了三基，再后来，又添加了活动经验，就成了四基。这应该是2018年的最新的提法了。那么怎么理解这些东西，有人说是老师的事，不需要学生知道这些，我倒认为学生了解一下很有好处。在高中数学的学习过程中，有一部分学生只是一味的喊苦，总想着不在基础知识的积累上下功夫，而是想怎么能一步到位，直接就能解决好多的综合题目。其实这时没有弄清楚这几个的关系。好多过来人(或者说读过书的人)都有感触，学数学和干其他的事情都是一样的。一旦基础有问题，那么要提高就很困难。先有基础知识，后有综合应用，这是时间轴上的先后关系，或者说是因果关系。只有基础知识的扎实，才会游刃有余的悠闲，先苦后甜，因此要下功夫打好基础。
(hspace{1cm})是学生不知道这个关系吗？非也，是急功近利惹的祸。现在的学生都不想吃苦，总是一厢情愿的耍弄自己的小聪明，想着绕过基础，直达目的地。等到头撞南墙的时候，自然就从内心认可了基础的重要性。当然其中也有一部分学困生，下面的举例主要针对这部分学生展开。真正的聪明人请绕行。
(hspace{1cm})那么到底什么是“四基”，这四个是怎么组合在一起的，能不能举个实例感受一下呢？这里刚好有一个数列的例子。

例说四基

静雅凤中$;cdot;$教学反思

题源：2017吉安模拟；反思：数学基础知识是什么？如何综合灵活运用数学基础知识和基本技能

数列${a_n}$的前$n$项的和为$S_n$，$a_1=1$，$S_{n+1}=4a_n+2(nin N^*)$，设$b_n=a_{n+1}-2a_n$。
(1)、求证：${b_n}$是等比数列；

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   <p> 【知识储备】等比数列的证明方法：定义法或等比中项法；$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$；</br>

分析：由于题目要证明等比数列，我们想到用定义法，自然会想到需要证明(cfrac{b_n}{b_{n-1}}=常数)，【这是基本知识】

当我们结合题目将(cfrac{b_n}{b_{n-1}}=cfrac{a_{n+1}-2a_n}{a_n-2a_{n-1}}=cdots=常数)，我们看到这里一般都会感觉变形比较难，

所以由结果到已知条件这样的变形方向一般会放弃，从而重新选择变形方向，

此时可以考虑从已知条件入手到结果的方向分析，变形得到(cfrac{b_n}{b_{n-1}}= 常数)，【这是基本经验】

确定了变形方向后，我们需要分析：已知条件中有(a_n)类和(S_n)类，而求解的式子中没有(S_n)类，故想到消掉(S_n)类；

为了消掉(S_n)类，我们需要根据(S_{n+1})来构造(S_n)，以便作差消掉；【这是基础知识和基本经验】

解析：当(nge 1)时，(S_{n+1}=4a_n+2)，

当(nge 2)时，(S_n=4a_{n-1}+2)，作差得到

(S_{n+1}-S_n=4a_n-4a_{n-1}(nge 2))，【这是基本变形技能】

即(a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}(nge 2))，注意到(b_n=a_{n+1}-a_n)，说明最起码左边还差一个(-2a_n)，【这是基本经验】

故变形如下：即(a_{n+1}-2a_n=2a_n-4a_{n-1}(nge 2))，即(a_{n+1}-2a_n=2(a_n-2a_{n-1})(nge 2))，【这是基本变形技能】

故(b_n=2b_{n-1})；到此如果直接想到变形为(cfrac{b_n}{b_{n-1}}=2)；

说明你的基础知识不牢固；因为前者是后者的必要不充分条件，由前者不能得到后者，还需要补充条件(b_1 eq 0)；【这是基础知识积累】

以下想方法求解(b_1)，当(n=1)时，(S_2=a_1+a_2=4a_2+2)，故(a_2=5)

则有(b_1=a_2-2a_1=5-2=3 eq 0)，故此时才可以将(b_n=2b_{n-1})改写为(cfrac{b_n}{b_{n-1}}=2)；

此时我们才能合情合理的作出判断：数列({b_n})是首项为3，公比为2的等比数列。 【这是基础知识积累】

<lable2>反思总结：1、庖丁解牛式的解题方式，或许能帮助你找出自身的不足。</br>2、借助此题我们想说明，基础知识稍微差一点，都不能将综合题目顺利的做出来。基础知识的积累本来就不需要别人不停的强调。</br></lable2>   

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(2)、设$c_n=cfrac{a_n}{3n-1}$，求证：${c_n}$是等比数列；

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   <p> 【预备知识】模型：已知$a_{n+1}=pa_n+q(p、q为常数)$求$a_n$的思路方法；</br>模型：已知$a_{n+1}=pa_n+qcdot p^n(p、q为常数)$求$a_n$的思路方法；</br>  等差数列的判定定义法$a_{n+1}-a_n=d(d常数)$，以及$a_n$的内涵，比如具体题目中$a_n$位置上可能是代数式$cfrac{b_{n+1}}{3^{n+1}}$；</br>等比数列的判定定义法$cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(q常数)$；</br>

分析：要证明({c_n})是等比数列，你自然会推测出需要先求解(a_n)，而要求解(a_n)，就需要先写出(b_n)的通项公式； 【这是基本经验】

解析：由(1)可得，(b_n=3cdot 2^{n-1})；即(a_{n+1}-2a_n=3cdot 2^{n-1})；

当将(a_{n+1}-2a_n=3cdot 2^{n-1})变形为(a_{n+1}=2a_n+3cdot 2^{n-1})；；

接下来，你必然要预判进一步的变形方向，在你的知识储备库中应该能查询到模型(a_{n+1}=pa_n+q(p、q为常数))【这是基础知识积累】

当将(a_{n+1}-2a_n=3cdot 2^{n-1})变形为(a_{n+1}=2a_n+3cdot 2^{n-1})；你应该能看到二者的差距比较接近；

比照模型不一样的是，在常数(q)的位置上出现的不是常数而是变数(3cdot 2^{n-1})，故我们想到需要两边同除以(2^{n-1})，以便缩小和模型的差距

故变形如下(cfrac{a_{n+1}}{2^{n-1}}=cfrac{2a_n}{2^{n-1}}+3)，整理得到(cfrac{a_{n+1}}{2^{n-1}}=cfrac{a_n}{2^{n-2}}+3)，【这是基本变形技巧】

到此，你要能看出来，等差数列的大体模型已经出来了，即(cfrac{a_{n+1}}{2^{n-1}}-cfrac{a_n}{2^{n-2}}=3)，

即数列({cfrac{a_n}{2^{n-2}}})的后项与其前项的差是常数3。【这是基本数学素养，数学经验】

再计算出其首项(cfrac{a_n}{2^{n-2}}=cfrac{a_1}{2^{1-2}}=2)后，就可以做等差数列的结论了。

故数列({cfrac{a_n}{2^{n-2}}})是首项为2，公差为3的等差数列。则(cfrac{a_n}{2^{n-2}}=2+3(n-1)=3n-1)，故(a_n=(3n-1)cdot 2^{n-2})。

则(c_n=cfrac{a_n}{3n-1}=2^{n-2})，如果是选择填空题目，到此我们就可以做结论了。

这是因为(c_n)是指数型函数，可以由此判断等比数列了。【这是基础知识积累】

这里要求证明，我们用定义法。

构造：当(nge2)时，(c_{n-1}=2^{n-3})；

故有(cfrac{c_n}{c_{n-1}}=cfrac{2^{n-2}}{2^{n-3}}=2 (nge 2))，又(c_1=2^{1-2}=cfrac{1}{2})

故数列({c_n})是首项为(cfrac{1}{2})，公比为2的等比数列。【这是基础知识积累】

反思总结1、几个基本类型组合到一起，就是个综合题目。2、怎么把这些基本类型的求解方法串起来，可能就是人家所说的数学素养吧。