幂函数习题

前言

图像绘制

• 教材上只要求掌握五种幂函数，其实我们应该利用他们总结出如下的图像的代表：

当(alpha<0)时，恒过点((1，1))，在((0，+infty))上单调递减，凹函数；

当(alpha=0)时，恒过点((1，1))，在((0，+infty))上无单调性，无凹凸性；

当(0<alpha<1)，恒过点((0，0))，((1，1))，在((0，+infty))上单调递增，凸函数；

当(alpha=1)时，恒过点((0，0))，((1，1))，在((0，+infty))上单调递增，无凹凸性；

当(alpha>1)时，恒过点((0，0))，((1，1))，在((0，+infty))上单调递增，凹函数；

• 比如函数(y=x^{frac{2}{3}})，先画出([0，+infty))上的函数图像，再根据偶函数，画出((-infty，0])上的图像。

• 比如函数(y=x^{frac{1}{3}})，先画出([0，+infty))上的函数图像，再根据奇函数，画出((-infty，0])上的图像。

• 比如函数(y=x^{-frac{1}{2}})，先画出((0，+infty))上的函数图像，无奇偶性，故只有第一象限的图像。

特别提示

请注意以下说法的实质内容；

• 幂函数(y=x^{alpha})图像不经过原点，则(alphaleq 0)；

• 幂函数(y=x^{alpha})与(x)轴、(y)轴没有交点，则(alphaleq 0)；

• 幂函数(y=x^{alpha})图像关于原点对称，则函数为奇函数；

幂函数中的奇函数比如，(y=x)，(y=x^{-1})，(y=x^3)，(y=x^{frac{1}{3}})等等；

• 幂函数(y=x^{alpha})图像关于(y)轴对称，则函数为偶函数；

幂函数中的偶函数比如，(y=x^0)，(y=x^{-2})，(y=x^2)，(y=x^{frac{2}{3}})等等；

延申阅读

• 幂函数(f(x)=x^a)，其抽象函数为(f(x)cdot f(y)=f(x+y))；(cfrac{f(x)}{f(y)})(=f(cfrac{x}{y}))；

典例剖析

例1已知幂函数(f(x)=x^{m^2-2m-3}(min N^*))的图像关于(y)轴对称，且在((0，+infty))上是减函数，则(m)的值是多少？

分析：由于幂函数(f(x))在((0，+infty))上是减函数，则(m^2-2m-3<0)，

解得(-1<m<3)，又(min N^*)，所以(m=1)或(m=2)。

又由于图像关于(y)轴对称，所以(m^2-2m-3<0)为偶数，

当(m=2)时(m^2-2m-3)为奇数，舍去(m=2)，

故(m=1)。

例2【数形结合比较大小】 幂函数的图像经过点((cfrac{1}{2}，cfrac{sqrt{2}}{2}))，若(0<a<b<1)，试比较(f(a)、f(b)、f(1)、f(cfrac{1}{a})、f(cfrac{1}{b}))的大小。

分析：设幂函数解析式为(y=x^{alpha})，由 幂函数的图像经过点((cfrac{1}{2}，cfrac{sqrt{2}}{2}))，

则((cfrac{1}{2})^{alpha}=cfrac{sqrt{2}}{2})，即(2^{-alpha}=2^{-frac{1}{2}})

故(alpha=cfrac{1}{2})，故幂函数为(y=x^{frac{1}{2}})，求函数的解析式

则其在定义域([0，+infty))上单调递增。

又由于(0<a<b<1)，则可知(cfrac{1}{a}>cfrac{1}{b}>1)，

即(0<a<b<1<cfrac{1}{b}<cfrac{1}{a})，

故有(f(a)<f(b)<f(1)<f(cfrac{1}{b})<f(cfrac{1}{a}))。

例3【数形结合比较大小】设(a=(cfrac{3}{5})^{frac{2}{5}})，(b=(cfrac{2}{5})^{frac{3}{5}})，(c=(cfrac{2}{5})^{frac{2}{5}})，

试比较(a、b、c)的大小。

分析：比较(a、c)，利用幂函数(y=x^{frac{2}{5}})，在((0，+infty))上单调递增，故(a>c)；

比较(b、c)，利用指数函数(y=(cfrac{2}{5})^x)，在((-infty，+infty))上单调递减，故(c>b)；

故有(a>c>b)。

例4【题组训练、思维拓展】

若((2m+1)^{frac{1}{2}}>(m^2+m-1)^{frac{1}{2}})，求实数(m)的取值范围。

分析：由于上述不等式依托的函数是(y=x^{frac{1}{2}})，在定义域([0，+infty))上单调递增，

故有(left{egin{array}{l}{2m+1ge 0①}\{m^2+m-1ge 0②}\{2m+1>m^2+m-1③}end{array} ight.)

解得(left{egin{array}{l}{mge -cfrac{1}{2}①}\{mgecfrac{sqrt{5}-1}{2}或mleq cfrac{-sqrt{5}-1}{2}②}\{-1<m<2③}end{array} ight.)

求交集得到，(cfrac{sqrt{5}-1}{2}leq m<2)。故(min [cfrac{sqrt{5}-1}{2}，2))。

例4-1【变式1】【无奇偶性】若((2m+1)^{frac{1}{4}}>(m^2+m-1)^{frac{1}{4}})，求实数(m)的取值范围。

分析：求解过程同上，故(min [cfrac{sqrt{5}-1}{2}，2))。

例4-2【变式2】【无奇偶性】若((2m+1)^{frac{1}{2n}}>(m^2+m-1)^{frac{1}{2n}}(nin N^{*}))，求实数(m)的取值范围。

分析：求解过程同上，故(min [cfrac{sqrt{5}-1}{2}，2))。

例4-3【变式3】【奇函数】若((2m+1)^{frac{1}{3}}>(m^2+m-1)^{frac{1}{3}})，求实数(m)的取值范围。

分析：定义域为((-infty，+infty))，故只需要利用单调性，故(-1<m<2)。

例4-4【变式4】【抽象函数】若函数(f(x))的定义域为([0，+infty))，且满足对任意的(x_1，x_2in [0，+infty))，都有(frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(x_1 eq x_2))，且满足(f(2m+1)>f(m^2+m-1))，求实数(m)的取值范围。

分析：求解过程同上，故(min [cfrac{sqrt{5}-1}{2}，2))。

例5【数形结合比较大小】若(f(x)=x^{frac{2}{3}}-x^{frac{1}{2}})，则满足(f(x)<0)的(x)的取值范围是_________。

分析：借助两个幂函数的图像，求解不等式。((0，1))。图像

例6【求解析式】已知函数(f(x)=x^{2-m})是定义在区间([-3-m，m^2-m])上的奇函数，求(f(m))的值。

分析：由题目可知，定义域关于原点对称，则((-3-m)+(m^2-m)=0)，

解得(m=-1)或(m=3)，但接下来必须逐个检验，

原因：刚才借助的是奇偶函数共有的性质，定义域关于原点对称，不是奇函数特有的，

当(m=-1)时，函数(f(x)=x^3)，奇函数，满足题意；

当(m=3)时，函数(f(x)=x^{-1})，奇函数，但是其定义域不包含(0)，不会是区间([-3-m，m^2-m])，

即区间([-6，6])，故不符合题意，舍去。

故函数(f(x)=x^3)，(f(m)=f(-1)=(-1)^3=-1)。

例6【2019武汉模拟】幂函数(y=x^{alpha})，当(alpha)取不同的正数时，在区间([0，1])上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点(A(1，0))，(B(0，1))，连接(AB)，线段(AB)恰好被其中的两个幂函数(y＝x^a)，(y＝x^b)的图象三等分，即有(BM=MN=NA)，那么(a－cfrac{1}{b})值是【 】

$A.0$ $B.1$ $C.cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：由题目可知，(M(cfrac{1}{3},cfrac{2}{3}))，(N(cfrac{2}{3},cfrac{1}{3}))，将其分别代入函数(y＝x^a)，(y＝x^b)

得到(cfrac{2}{3}=(cfrac{1}{3})^a)，(cfrac{1}{3}=(cfrac{2}{3})^b)，

则(a=log_{frac{1}{3}}frac{2}{3})，(b=log_{frac{2}{3}}frac{1}{3})，显然有(ab=1)，则(a=cfrac{1}{b})

故(a-cfrac{1}{b}=0)，故选(A)。