指数函数习题

前言

指数函数的图像

引出过程

• 加法，减法；一级运算；乘除二级运算；乘方开方三级运算；

• 乘方引出幂值，幂值引出方根，再引出根式，

• 分数指数幂，整数指数幂+分数指数幂(Rightarrow)有理数指数幂，

• 无理数指数幂(Rightarrow)实数指数幂

• 引出(y=a^x)，(xin R)，为保证总有意义，限制(a>0，a eq 1)，指数函数。

相关延申

• 指数函数(f(x)=a^x)，其抽象函数为(f(x)cdot f(y)=f(x＋y))；(cfrac{f(x)}{f(y)}=f(x-y))；

典例剖析：

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知函数(f(x)=cfrac{a^x-1}{a^x+1}(a>0且a eq 1))，

(1).求函数的定义域和值域；

分析：容易知道定义域为(R)；求值域的方法有两个：

其一利用有界性法；如由(y=cfrac{a^x-1}{a^x+1})反解得到(a^x=-cfrac{y+1}{y-1})，

由(a^x>0)得到(-cfrac{y+1}{y-1}>0)，解得(-1<y<1)；

其二利用函数的单调性法，见下(3)

(2).讨论函数(f(x))的奇偶性；

分析：函数(f(-x)=f(x))，奇函数；

(3).讨论函数(f(x))的单调性。

分析：化为部分方式得到，(f(x)=1-cfrac{2}{a^x+1})，

容易知道当(a>1)时，函数(f(x))单调递增；当(0<a<1)时，函数(f(x))单调递减；

补充求值域的单调性法；化为部分方式得到，(f(x)=1-cfrac{2}{a^x+1})，

当(a>1)时，函数(f(x))单调递增，当(limlimits_{x o +infty} f(x)=1)，

(limlimits_{x o -infty} f(x)=-1)，故(-1<f(x)<1)；

当(0<a<1)时，同样能得到(-1<f(x)<1)；

例2【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】若函数(f(x)=a^x(a>0，a eq 1))在区间([2，4])上的最大值与最小值的差为(2)，则实数(a)=【】

$A.cfrac{sqrt{2}}{2}$ $B.sqrt{2}$ $C.cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：分类讨论如下，

当(a>1)时，满足(a^4-a^2=2)，逐项验证，(a=sqrt{2})满足；

当(0<a<1)时，满足(a^2-a^4=2)，逐项验证，无解，

综上所述，选(B)。