前言
含参数的二次不等式的求解是高中学生的难点，涉及到代数的内涵。
数字系数
分析：(xin [1，3])；
字母系数
- 含参数的二次不等式，一动根一定根
- (含参数的二次不等式，两动根)
分析：将原不等式等价转化为((x-a)(x+cfrac{a}{2})<0)，
令((x-a)(x+cfrac{a}{2})=0)，
则方程的两个根为(x=-cfrac{a}{2})和(x=a)，
下来根据这两个动根的大小分类讨论
当(-cfrac{a}{2}<a)时，即(a>0)时，不等式的解集为((-cfrac{a}{2}，a))；
当(-cfrac{a}{2}=a)时，即(a=0)时，不等式的解集为(varnothing)；
当(-cfrac{a}{2}>a)时，即(a<0)时，不等式的解集为((a，-cfrac{a}{2}))；
综上，略。
分析：将原不等式等价转化为((x-a^2)(x-a)leq 0)，
其对应方程的两个根为(x=a^2)和(x=a)，分类讨论如下：
(1^{circ}) 当(a^2>a)，即(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；
(2^{circ}) 当(a^2=a)，即(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；
(3^{circ}) 当(a^2<a)，即(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；
综上所述：
当(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；
当(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；
当(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；
分析：当(a=1)时，原不等式为(1<0)，故解集为(varnothing)；
当(a eq 1)时，由于(a^2+1>2a)，故解集为((2a，a^2+1))；
分析：若(a=0)时，原不等式等价于(-x+1<0)，即(x>1)；
若(a<0)时，原不等式等价于((x-cfrac{1}{a})(x-1)>0)，解得(x<cfrac{1}{a})或(x>1)；
若(a>0)时，原不等式等价于((x-cfrac{1}{a})(x-1)<0)，
当(cfrac{1}{a}=1)时，即(a=1)时，不等式无解；
当(cfrac{1}{a}<1)时，即(a>1)时，不等式解集为({xmid cfrac{1}{a}<x<1})；
当(cfrac{1}{a}>1)时，即(0<a<1)时，不等式解集为({xmid 1<x< cfrac{1}{a}})；
综上所述，
当(a<0)时，不等式解集为({xmid x<cfrac{1}{a})或(x>1})；
当(a=0)时，不等式解集为({xmid x>1})；
当(0<a<1)时，不等式解集为({xmid 1<x< cfrac{1}{a}})；
当(a=1)时，不等式解集为(varnothing)；
当(a>1)时，不等式解集为({xmid cfrac{1}{a}<x<1})；
因式分解
实际高三数学教学和考试中的相关习题常常是这样的，理解掌握。
①(x^2-5sqrt{2}x+8ge 0)，即((x-sqrt{2})(x-4sqrt{2})ge 0)；
②(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2leq 0)，即([x-(m+2)][x-(m-1)]leq 0)；
③(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)ge 0)；即([x-(m-1)][x-(2m+1)]ge 0)；
④(x^2-(a+a^2)x+a^3leq 0)，即((x-a)(x-a^2)leq 0)；
⑤(x^2-(a+1)x+aleq 0)，即((x-1)(x-a)leq 0)；
⑥(x^2-(2a+1)x+a(a+1)leq 0)；即((x-a)[x-(a+1)]leq 0)；
⑦(cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a eq 1))；即((x-2a)[x-(a^2+1)]<0)，解集为((2a，a^2+1))；
⑧(x^2+(m+4)x+m+3<0)，即((x+1)[x+(m+3)]<0)；
转化划归
【分析】利用导数转化为求解含有参数a的不等式，给导函数的分子配方就能找到分类讨论的标准。
【解答】导数法研究单调性，先求出定义域((-1，+infty))，
(f'(x)=x+cfrac{a}{x+1})(=cfrac{x(x+1)+a}{x+1})(=cfrac{x^2+x+a}{x+1})(=cfrac{(x+cfrac{1}{2})^2+a-cfrac{1}{4}}{x+1})，
①当(a≥cfrac{1}{4})时，(f'(x)≥0)恒成立，且当(a=cfrac{1}{4})时仅仅在(x=-cfrac{1}{2})处取到等号，
故函数(f(x))在((-1，+∞))上单调递增；
②当(a<cfrac{1}{4})时，令(x^2+x+a=0)，得到(x=cfrac{-1±sqrt{1-4a}}{2})，
接下来将其中的小根和-1作比较，
当(-1<cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时，即(0<a<cfrac{1}{4})时，
(xin (-1，cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，
(xin(cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，
(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，
当(-1=cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时，即(a=0)时，(xin (-1，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，
当(-1>cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时，即(a<0)时，(xin(-1，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，
综上所述，当(a≥cfrac{1}{4})时，函数(f(x))的单调递增区间为((-1，+∞))，无单调递减区间；
当(0<a<cfrac{1}{4})时，单调递增区间为((-1，cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}))和((cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))，
单调递减区间为((cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))；
当(a≤0)时，单调递减区间为((-1，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))，单调递增区间为((cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))；
分析：函数(f(x))的定义域为((-infty,+infty))，(f'(x)=ax^2-(a+1)x+1=a(x-cfrac{1}{a})(x-1))，
当(cfrac{1}{a}=1)时，即(a=1)时，(f'(x)geqslant 0)恒成立，则在((-infty,+infty))单调递增；
当(cfrac{1}{a}<1)时，即(a>1)时，
当(xin (-infty,cfrac{1}{a}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；当(xin (cfrac{1}{a},1))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；当(xin (1,+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
当(cfrac{1}{a}>1)时，即(0<a<1)时，
当(xin (-infty,1))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；当(xin (1,cfrac{1}{a}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；当(xin (cfrac{1}{a},+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
综上所述，
当(0<a<1)时，函数的单调递增区间为((-infty,1))和((cfrac{1}{a},+infty))，单调递减区间为((1,cfrac{1}{a}))；
当(a=1)时，函数的单调递增区间为((-infty,+infty))；
当(a>1)时，函数的单调递增区间为((-infty,cfrac{1}{a}))和((1,+infty))，单调递减区间为((cfrac{1}{a},1))；