前言
奇偶函数
- 常见的奇函数，最好借助奇偶性和单调性能掌握其函数的图像；
备注：需要特别注意这种运算技巧，(g(-x)=cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=cfrac{(2^{-x}-1)cdot 2^x}{(2^{-x}+1)cdot 2^x}=cfrac{1-2^{x}}{2^{x}+1}=-g(x))
- 常见的偶函数，最好借助奇偶性和单调性能掌握其函数的图像；
运算技巧
- 涉及偶函数的考查中，用到最多见的变形是使用(f(x)=f(-x)=f(|x|))；为什么？[1]
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当函数中有对数符号时，判断奇偶性利用公式(f(-x)+f(x)=0)最方便。
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如果函数(f(x))为奇函数且有最值，则(f(x)_{max}+f(x)_{min}=0).
详解： 令(g(x)=x+sqrt{1-x^{2}}cdotcfrac{2^{x}-1}{2^{x}+1})，
由(1-x^{2}geqslant 0)得到定义域为(-1leqslant xleqslant 1)，
(g(-x)=-x+sqrt{1-(-x)^{2}}cdotcfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1})
(=-x+sqrt{1-(-x)^{2}}cdotcfrac{(2^{-x}-1)cdot 2^x}{(2^{-x}+1)cdot 2^x})
(=-x+sqrt{1-x^{2}}cdotcfrac{1-2^{x}}{1+2^{x}})
(=-x-sqrt{1-x^{2}}cdotcfrac{2^{x}-1}{1+2^{x}}=-g(x))
则函数(g(x))为定义域为([-1,1])上的奇函数， (g(x)_{max}+g(x)_{min}=0)，
所以(M+N=g(x)_{max}+3+g(x)_{min}+3=6)，故选 (C)。
典例剖析
- 判断奇偶性；[注意对解析式的必要和有效化简]
分析：研究函数的性质，一般先要求定义域，由题目可知(egin{cases}1-x^2ge 0\2-|x+2| eq 0end{cases})，
解得定义域是([-1，0) cup (0，1])，
这样函数就能简化为(f(x)=cfrac{sqrt{1-x^2}}{2-|x+2|}=cfrac{sqrt{1-x^2}}{2-x-2}=cfrac{sqrt{1-x^2}}{-x})，
所以(f(-x)=-f(x))，故函数是奇函数。
分析：由定义的运算可知(2otimes x=sqrt{2^2-x^2}=sqrt{4-x^2})，(xoplus 2=sqrt{(x-2)^2}=|x-2|)，
于是(f(x)=cfrac{sqrt{4-x^2}}{2-|x-2|})，仿例2先求得定义域为([-2，0)cup(0，2])，
故(f(x)=cfrac{sqrt{4-x^2}}{2-(2-x)}=cfrac{sqrt{4-x^2}}{x})，满足(f(-x)=-f(x))，故函数(f(x))为奇函数。
反思：研究函数的性质，一般都要求定义域优先原则。
分析：先做出函数(f(x))的图像，由图像可知(f(x))为偶函数；
对于选项(A)，令(F(x)=f(sinx))，则(F(-x)=f(sin(-x))=f(-sinx)=f(sinx)=F(x))，故(f(sinx))为偶函数；
对于选项(B)，令(F(x)=f(cosx))，则(F(-x)=f(cos(-x))=f(cosx)=F(x))，故(f(cosx))为偶函数；
对于选项(C)，奇函数乘以偶函数为奇函数，故(xcdot f(sinx))为奇函数；
对于选项(D)，偶函数乘以偶函数为偶函数，故(x^2cdot f(cosx))为偶函数；
故选(C).
- 利用奇偶性求值；
【法1】：由函数(f(x))为奇函数，则满足(f(-x)=-f(x))，
(f(x)=cfrac{x}{(2x+1)(x-a)}=cfrac{x}{2x^2+(1-2a)x-a})，
(f(-x)=cfrac{-x}{(-2x+1)(-x-a)}=cfrac{-x}{2x^2-(1-2a)x-a})，
则(cfrac{-x}{2x^2-(1-2a)x-a}=cfrac{-x}{2x^2+(1-2a)x-a})应该恒成立，
只需要(-(1-2a)=1-2a)，解得(a=cfrac{1}{2})；故选(A)；
【法2】：由于定义域中有(-1，1)，故必然满足(f(-1)=-f(1))，解得(a=cfrac{1}{2})；故选(A)；和法1相比，是特值验证。
【法3】：由于奇函数的定义域关于原点对称，令(2x+1=0)得到(x=-cfrac{1}{2})，故可知定义域中没有(x=-cfrac{1}{2})；
令(x-a=0)得到(x=a)，故定义域中必然没有(x=a)，故(a=cfrac{1}{2})；故选(A)；
【法4】：(f(x)=cfrac{x}{(2x+1)(x-a)}=cfrac{x}{2x^2+(1-2a)x-a})，由于分子函数为奇函数，要是(f(x))为奇函数，则分母函数(y=2x^2+(1-2a)x-a)为二次函数，
要是偶函数，则(1-2a=0)，解得(a=cfrac{1}{2})；故选(A)；
分析：由于函数具有奇偶性，故定义域关于原点对称，即(-2b+3+b=0)，解得(b=3)；
法1：利用奇偶性，求得(g(x))的解析式，再求(g(3))，略。
法2：【整体有奇偶性，但部分没有奇偶性】(f(3)=g(3)+1)，则(g(3)=f(3)-1)，由于(f(x))为奇函数，则(f(3)=-f(-3))，
故(g(3)=f(3)-1=-f(-3)-1=-log_2(1+3)-1=-3)，故(g(3)=-3)。
分析：在使用函数的奇偶性解题是要注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，
(f(x)=cfrac{x^2+1+x}{x^2+1}=1+cfrac{x}{x^2+1})，而原函数的局部(g(x)=cfrac{x}{x^2+1})有奇偶性，
是奇函数，故(f(-x)+f(x)=1+g(-x)+1+g(x)=2)，故(f(-a)+f(a)=2)，
解得(f(-a)=2-cfrac{2}{3}=cfrac{4}{3}).
其实，本题还能推出函数(f(x))关于点((0，1))对称。
反思：注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，恰当利用，能方便我们的解题。
分析：令(g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x)，则(g(x))为奇函数，则(g(-x)=-g(x))，
这样(f(x)=g(x)+1)，由于(f(3)=g(3)+1=10)，
令(f(-3)=m=g(-3)+1)，两式相加得到，
(g(3)+1+g(-3)+1=10+m)，即(g(3)+g(-3)+2=10+m)，即(2=10+m)，
解得(m=-8)，即(f(-3)=-8)，故选(A)。
- 利用奇偶性求取值范围[解不等式]；
分析：由偶函数可知，(f(x))总满足(f(x)=f(-x)=f(|x|))，(f(x))在区间((0，+infty))上单调递减，
故将已知条件转化为(f(2^{|a-1|})>f(|-sqrt{2}|)=f(sqrt{2}))，
利用在区间((0，+infty))上单调递减得到(2^{|a-1|}<2^{frac{1}{2}})，则有(|a-1|<cfrac{1}{2})，
解得(ain (cfrac{1}{2}，cfrac{3}{2}))。
分析：对任意的(x_1)，(x_2in(-infty，0](x_1 eq x_2))，有((x_1-x_2)[f(x_2)-f(x_1)]<0)，
即(x_1)，(x_2in(-infty，0](x_1 eq x_2))，有((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0)，
即函数在((-infty，0])上单调递增，故由偶函数可知，函数在([0，+infty))上单调递减，
又由于偶函数，则(f(2)=f(-2)=0)，做出适合题意的示意图如下，
且不等式(cfrac{3f(x)+f(-x)}{5x}<0)可以转化为(cfrac{3f(x)+f(x)}{5x}<0)
即(cfrac{f(x)}{x}<0)，由图可知，解为(-2<xleqslant 0)或(x>2)。
故解集为((-2，0]cup (2，+infty))。
分析：先利用奇偶性求得函数的解析式(f(x)=egin{cases}2^x-4&xge0\2^{-x}-4&x<0end{cases})，接下来
[法1]：图像法，作出函数(f(x))的图像，变换得到(f(x-2))的图像，
从而利用图像解得不等式(f(x-2)>0)。图像
[法2]：代数法，由(f(x))的解析式得到函数(f(x-2))的解析式
(f(x-2)=egin{cases}2^{x-2}-4&x-2ge0\2^{-(x-2)}-4&x-2<0end{cases})，
即(f(x-2)=egin{cases}2^{x-2}-4&xge2\2^{2-x}-4&x<2end{cases})，
故(f(x-2)>0)可等价转化为(egin{cases}xge 2\2^{x-2}-4>0end{cases})
或者(egin{cases}x<2\2^{2-x}-4>0end{cases})，
解得(x<0)或(x>4)，故选(B).
[法3]：利用偶函数的性质，(f(-x)=f(x)=f(|x|))，
由(f(x)=2^x-4(xge 0))，可知偶函数(f(x))在([0 ，+infty))上单调递增，且有(f(2)=0)，
故所求不等式(f(x-2)>0)，可以转化为(f(x-2)>f(2))，
由偶函数再次转化为(f(|x-2|)>f(|2|))，由(f(x))在([0 ，+infty))上单调递增，
可知(|x-2|>2)，解得(x<0)或(x>4)，故选(B).
分析：由于(f(x))在([0，+infty))上是增函数，故(y=-f(x))在([0，+infty))上是减函数，
又函数(g(x)=-f(|x|))是偶函数，故在([0，+infty))上是减函数，((-infty，0])上是增函数，
由函数(g(x))是偶函数，则(g(lgx)>g(1))等价转化为(g(|lgx|)>g(1))，
又由于在([0，+infty))上是减函数，故有(|lgx|<1)
即(-1<lgx<1)，解得(cfrac{1}{10}<x<1)。
分析：由于(y＝f(x))在((0，＋infty))上单调递增，且为奇函数，
则可知函数在((-infty，0))上单调递增，又(f(cfrac{1}{2})=0)，
则可知(f(-cfrac{1}{2})=0)，又由于函数定义在(R)上，则(f(0)=0)，
做出大致示意图如下，
由图像可得，
故有(log{frac{1}{9}}x>cfrac{1}{2})或(-cfrac{1}{2}<log{frac{1}{9}}x<0)
即(log{frac{1}{9}}x>cfrac{1}{2}=log{frac{1}{9}}(cfrac{1}{9})^{{frac{1}{2}}}=log{frac{1}{9}}{cfrac{1}{3}})
或(log{frac{1}{9}}3<log{frac{1}{9}}x<log{frac{1}{9}}1)
解得(0<x<cfrac{1}{3})或(1<x<3)，
故所求集合为({xmid 0<x<cfrac{1}{3}或1<x<3 })。
分析：先求定义域，令(cfrac{2}{1-x}+a>0)，即(cfrac{a(x-1)+2}{x-1}>0)，
由于函数的定义域对称，则方程([a(x-1)+2](x-1)=0)的两个根之和为零，
即(cfrac{2}{a}+1+1=0)，解得(a=-1)，代入(cfrac{2}{1-x}+a>0)，
即(cfrac{2}{1-x}-1>0)，解得定义域为((-1，1))，
又(f(x)<0=f(0))，又函数(f(x))在区间([0，1))上单调递增，
故(x<0)，又(-1<x<1)，则(xin (-1，0))。
分析：(g(x))为偶函数，且在([0，+infty))上单调递增，(g(|x|)<g(|2x-6|))，故(|x|<|2x-6|)，解得 (xin (-infty，2)cup(6，+infty))，故选(C).
分析：由于(f(-x)=-f(x))，古函数(f(x))为奇函数，又由于(f'(x)=cosx+x(-sinx)-cosx-x^2)，
则(f'(x)=-x(sinx+x)leq 0)，(此处针对(x)分类讨论即可判断正负)
故函数(f(x))在(R)上单调递减，又由于(f(2x+3)<-f(1)=f(-1))，故(2x+3>-1)，解得(x>-2)，故选(A).
分析：由于(f(x)=e^{-x}-e^x-x^3)为奇函数，且(-f(-1)=f(1))，(f(0)=0)，在(R)上单调递减，
故(|f(4x-7)|<f(-1))等价于(-f(-1)<f(4x-7)<f(-1))，则利用单调性去掉对应法则符号，得到(-1<4x-7<1)，解得(cfrac{3}{2}<x<2)，故选(B)。
分析：由(x>0)时，(f'(x)<0)，可知函数(f(x))在区间((0，+infty))上单调递减，
又由于函数(f(x))为偶函数，由(f(2x)>f(x+3))可得，(f(|2x|)>f(|x+3|))，
则有(|2x|<|x+3|)，解得(-1<x<3)，故选(D)。
- 利用奇偶性证明；
分析：由(alphacdot sinalpha-etacdot sineta>0)，得到(alphacdot sinalpha>etacdot sineta)，左右两边的结构一模一样，故联想到构造函数
令(g(x)=xcdot sinx)，则上述条件可表述为(g(alpha)>g(eta))，要去掉符号(g)，我们就得研究函数的性质，尤其是奇偶性和单调性。
由于函数(g(-x)=(-x)cdot sin(-x)=xcdot sinx=g(x))，故函数(g(x))为偶函数；
当(xin[0，cfrac{pi}{2}])，(g(x)=xcdot sinx)单调递增，[2]
利用偶函数的性质，将(g(alpha)>g(eta))等价转化为(g(|alpha|)>g(|eta|))，
故(|alpha|>|eta|)，则有(alpha^2>eta^2)，选(D)。
分析：(f(x)=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1-cfrac{1}{2}cdot 2^2sin^2xcos^2x=1-cfrac{1}{2}(sin2x)^2)
(=1-cfrac{1}{2}cdotcfrac{1-cos4x}{2}=cfrac{1}{4}cos4x+cfrac{3}{4})，
则函数(f(x))为偶函数，由(f(x_1)<f(x_2))，则必有(f(|x_1|)<f(|x_2|))
且在区间([0，cfrac{pi}{4}])上单调递减，则有(|x_1|>|x_2|)，故(x_1^2>x_2^2)，故选(D)。
分析：先研究清楚函数的组成部分的性质，
(y=x)奇函数，在(R)上单调递增；(y=e^x-e^{-x})奇函数，在(R)上单调递增(增+增)；
故(f(x)=x(e^x-cfrac{1}{e^x}))为偶函数，在([0，+infty))上单调递增，在((-infty，0])上单调递减。
故由偶函数的性质，(f(x_1)<f(x_2))，
等价于(f(|x_1|)<f(|x_2|))，又函数在([0，+infty))上单调递增，
即有(|x_1|<|x_2|)，即 (x_1^2<x_2^2)，故选(D)。
分析：(f(-x)=e^{1-sinx}+e^{1+sinx}=f(x))，故函数(f(x))为偶函数，
又当(xin[0，cfrac{pi}{2}])，(f'(x)=e^{1+sinx}cdot cosx+e^{1-sinx}cdot (-cosx)=cosx(e^{1+sinx}-e^{1-sinx})>0)，
故函数(f(x))在([0，cfrac{pi}{2}])上单调递增，则由(f(x_1)>f(x_2))得到，
(f(|x_1|)>f(|x_2|))，则有(|x_1|>|x_2|)，则(x_1^2>x_2^2)，故选(D).
分析：函数(f(x))满足条件，(f(-x)+f(x)=0)，故为奇函数，又函数在(R)上单调递增，故由(age -b)，得到(f(a)ge f(-b))，即(f(a)ge -f(b))，则(f(a)+f(b)ge 0)，故选(B)。
比如，已知函数(y=f(x)=e^x+e^{-x})，求解不等式(f(x)>f(2-x))中(x)的取值范围。
法1：[分类讨论，很繁琐的思路]先判断函数的定义域为(R)，且为偶函数；又由于(x>0)时，(e^x>1)且(0<cfrac{1}{e^x}<1)，则(f'(x)=e^x-cfrac{1}{e^x}>0)，
则可知在((-infty，0])上单调递减，在([0，+infty))上单调递增。
若针对两个自变量(x)和(2-x)分类讨论，则得到以下四种情形：
(Ⅰ.left{egin{array}{l}{x>0}\{2-xge 0}\{x>2-x}end{array} ight.)或者(Ⅱ.left{egin{array}{l}{x<0}\{2-xleq 0}\{x<2-x}end{array} ight.)或者(Ⅲ.left{egin{array}{l}{x>0}\{2-xleq 0}\{-x<2-x}end{array} ight.)或者(Ⅳ.left{egin{array}{l}{x<0}\{2-xge 0}\{-x>2-x}end{array} ight.)
解Ⅰ得到，(1<xleq 2)；解Ⅱ得到，(xin varnothing)；
解Ⅲ得到，(xge 2)；解Ⅳ得到，(xin varnothing)；
求并集得到(x)的取值范围为(x>1)，即(xin (1，+infty))。
法2：[利用偶函数的性质，简洁明快]先判断函数的定义域为(R)，在((-infty，0])上单调递减，在([0，+infty))上单调递增，且为偶函数；
故由(f(x)>f(2-x))变形得到，(f(|x|)>f(|2-x|))，这样做的用意是将两个自变量整体强行放置到函数的单调递增区间上，便于利用单调性求解；
故得到(|x|>|2-x|)，则(x^2>(2-x)^2)，解得(x>1)。即(xin (1，+infty))。 ↩︎原因一：(xin[0，cfrac{pi}{2}])时，(y=x>0)且单调递增，(y=sinx>0)且单调递增，故(g(x))在(xin[0，cfrac{pi}{2}])上单调递增；
原因二：导数法，(g'(x)=sinx+xcdot cosx)，当(xin[0，cfrac{pi}{2}])时，(g'(x)>0)，故(g(x))在(xin[0，cfrac{pi}{2}])上单调递增；
综上，函数(g(x))在([-cfrac{pi}{2}，0])上单调递减，在(xin[0，cfrac{pi}{2}])上单调递增。 ↩︎