高斯函数的那些事

前言

典例剖析

例1规定([t])为不超过(t)的最大整数，例如([12.6]=12,[-3.5]=-4)，对任意实数(x)，令(f_1(x)=[4x])，(g(x)=4x-[4x])，再令(f_2(x)=f_1[g(x)]),
(1)若(x=cfrac{7}{16})，求(f_2(x));

(2)若(f_1(x)=1,f_2(x)=3)同时满足，则(x)的取值范围为多少？

分析：(1)由题可知，(f_1(cfrac{7}{16})=[cfrac{7}{4}]=1)，(g(cfrac{7}{16})=cfrac{7}{4}-1=cfrac{3}{4})，故(f_1[g(cfrac{7}{16})]=f_1(cfrac{3}{4})=[3]=3);

(2)由(f_1(x)=[4x]=1)得，(g(x)=4x-1)，(4g(x)=16x-4)，则(f_2(x)=f_1[g(x)]=[4g(x)]=[16x-4]=3)，由题目要求可知([4x]=1)和([16x-4]=3)必须同时满足，则必须满足(1leq 4x<2)且(3leq 16x-4<4)，解得(cfrac{1}{4}leq x<cfrac{1}{2})且(cfrac{7}{16}leq x<cfrac{1}{2})，二者求交集得到(xin[cfrac{7}{16}，cfrac{1}{2})).

例2规定([x])为不超过(x)的最大整数，则对任意实数(x)，有

A.([-x]=-[x]) (hspace{2cm}) B.([x+cfrac{1}{2}]=[x]) (hspace{2cm}) C.([2x]=2[x]) (hspace{2cm}) D.([x]+[x+cfrac{1}{2}]=2[x])

法1：特殊值验证法，比如取(x=1.5)，逐个验证，

对于选项A，当(x=1.5)时，([-x]=[-1.5]=-2)，(-[x]=-[1.5]=1)，故排除A；对于选项B，当(x=1.5)时，([x+cfrac{1}{2}]=[2]=2)，([x]=[1.5]=1)，故排除B；

对于选项C，当(x=1.5)时，([2x]=[3]=3)，(2[x]=2[1.5]=2)，故排除C；故选D.

法2：函数法，做出函数的图像，如右图。待编辑。

例3【2018广东江门一模】设([x])表示不超过(x)的最大整数，如([pi]=3)，([-3.2]=-4)，则([lg1]+[lg2]+[lg3]+cdots+[lg100])=___________。

提示：([lg1]=0)，([lg2]=0)，(cdots)，([lg9]=0)；

([lg10]=1)，([lg11]=1)，(cdots)，([lg99]=1)；

([lg100]=2)，故所求为92。

例4【2018江西新余一中模拟】设数列({a_n})满足(a_1=2)，(a_2=6)，且(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2)，若([x])表示不超过(x)的最大整数，则([cfrac{2017}{a_1}+cfrac{2017}{a_2}+cdots +cfrac{2017}{a_{2017}}])=_________。

提示：变形得到((a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=2)，即数列({a_{n+1}-a_n})为等差数列，再用累加法得到(a_n=n(n+1))，则(cfrac{1}{a_n}=cfrac{1}{n}-cfrac{1}{n+1})，则(cfrac{1}{a_1}+cfrac{1}{a_2}+cdots +cfrac{1}{a_{2017}}=1-cfrac{1}{2018})，

则(2017(cfrac{1}{a_1}+cfrac{1}{a_2}+cdots +cfrac{1}{a_{2017}})=2017(1-cfrac{1}{2018})=2017-cfrac{2017}{2018}=2016+cfrac{1}{2018})，

故([cfrac{2017}{a_1}+cfrac{2017}{a_2}+cdots +cfrac{2017}{a_{2017}}]=[2016+cfrac{1}{2018} ]=2016)。

例5【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数(f(x)=x-int(x))，(xgeqslant 0)，其中(int(x))表示实数(x)的整数部分，如(int(1.4)=1)，(int(2.6)=2)，若函数(g(x)=f(x)-ax+cfrac{1}{2})在区间([1，2))上有且仅有(1)个零点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，cfrac{3}{4}]$ $B.[cfrac{1}{2}，cfrac{3}{4}]$ $C.[cfrac{1}{2}，cfrac{3}{4})$ $D.[cfrac{1}{2}，+infty)$

分析：先将(y=g(x))在区间([1，2))上有且仅有(1)个零点，

转化为(y=f(x)+cfrac{1}{2})与(y=ax)在区间([1，2))上有且仅有(1)个交点，

接下来在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知，

当直线(y=ax)经过点((1，cfrac{1}{2}))和点((2，cfrac{3}{2}))时是两种临界状态，

故要使得(y=f(x)+cfrac{1}{2})与(y=ax)在区间([1，2))上有且仅有(1)个交点，

则必须满足(ain [cfrac{1}{2}，cfrac{3}{4}))，故选(C)。