前言
函数的解析式是函数的重要性质之一,要研究函数,我们往往需要以函数的解析式为依托和切入,如果知道了函数的解析式,那么我们也许通过观察就能很快发现函数的一些简单的性质,比如(f(x)=x+x^3),看到这个解析式,我们就能知道函数的定义域和值域都是(R),是奇函数,是单调递增函数,过点((0,0))等。所以我们必须切实掌握求函数的解析式的常用方法。对常用的基本方法详细说明如下:
配凑法
操作说明:在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式,然后做代换。
分析: (f(sqrt{x}+1)=x+2sqrt{x}=(sqrt{x}+1)^2-1),
注意右端需要配凑出以(sqrt{x}+1)为整体变量的代数式,以便于下一步的代换,到此配凑工作结束;
令(sqrt{x}+1=t),则新元(tge 1)
故解析式为(f(t)=t^2-1(tge 1)),再将自变量替换为我们适应的(x),
则所求的解析式为(f(x)=x^2-1(xge 1))。
分析:注意到(x^3+cfrac{1}{x^3}=(x+cfrac{1}{x})^3-3(x+cfrac{1}{x})),
令(t=x+cfrac{1}{x}),则新元(t in(-infty,-2]cup[2,+infty))
故所求解析式为(f(x)=x^3-3x(|x|ge 2))
解后反思:
1、配凑法是结构化的方法,要注意式子两端的对应性,比如左端的自变量整体是(sqrt{x}+1),那么右端就必须围绕它来做文章;
2、但凡使用了换元之处,就一定需要注意新元和旧元的取值范围的一致性。
3、例1-2中的(t=x+cfrac{1}{x}),其实是一个对勾函数,这时高三数学中的一个高频函数,需要特别注意,要对其性质非常清晰才行。
换元法
操作说明:将未知的或无法掌握的解析式问题转化为已知的解析式问题。
分析:注意到函数的结果特点,
做代数换元令(2^x=t>0),
则原函数就转化为(f(x)=g(t)=t^2+3t+1,tin(0,+infty))上的值域
分析:求定义域得到(xin[-1,1]),
故做三角换元令(x=cos heta, hetain[0,pi]),
则函数(f(x)=x+sqrt{1-x^2})
(=cos heta+sqrt{1-cos^2 heta})
(=cos heta+|sin heta|)
(=sin heta+cos heta)
(=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in[-sqrt{2},sqrt{2}]),
故函数的值域为([-sqrt{2},sqrt{2}])。
分析:令(t=sinx+cosx=sqrt{2}sin(x+cfrac{pi}{4})),
则可知(tin[-sqrt{2},sqrt{2}]),
又由((sinx+cosx)^2=t^2)得到(sinxcosx=cfrac{t^2-1}{2}),
故此时原函数经过换元就转化为二次函数在闭区间上的值域问题了
(f(x)=g(t)=t+cfrac{t^2-1}{2}=cfrac{1}{2}t^2+t-cfrac{1}{2}),(tin[-sqrt{2},sqrt{2}]),
解后反思:
1、上述的三个求值域的问题,实际上都先是个求解析式的问题,不过没有人提示我们用换元法,需要我们有一定的数学素养。
同时还暗含了转化划归的一个策略,即将未知的转化为已知的,将复杂的转化为简单的,将高级的转化为低级的。
2、换元法首要注意的一点就是,换元前后的变量取值的一致性。
3、第三个例题的转化非常特殊,注意特别注意。引申比如(sinxpm cosxpm 2sinxcosx)的转化;
分析:令内层函数(f(x)-2lnx=t),则(f(t)=1)且(f(x)=t+2lnx),
又由已知得到(f(t)=t+2lnt),故有(t+2lnt=1),
观察得到(t=1),即得到函数的解析式(f(x)=2lnx+1);
又(f'(x)=cfrac{2}{x}),故所求方程为(2lnx+1-cfrac{2}{x}=1),
即(2lnx-cfrac{2}{x}=0); 令(g(x)=2lnx-cfrac{2}{x}),
(g(1)=2ln1-2<0,g(2)=2lnx-1>0),故有解区间为 (C.(1,2)) .
分析:本题实质是求抽象复合函数的解析式,令内函数(f(x)-e^x=t),
则有(f(x)=e^x+t),又由题目可知,(f(t)=e+1),故有(f(t)=e^t+t),
则(e^t+t=e+1),观察可知(t=1),即有(f(x)-e^x=1),
(f(x)=e^x+1),所以(f(ln2)=e^{ln2}+1=3)。
法1:换元法,令(e^x=t),则(x=lnt),由已知可知(f(t)=lnt+t),
即(f(x)=lnx+x),故(f'(x)=cfrac{1}{x}+1),
令(x=1),得到(f'(1)=2).
法2:复合函数求导法,由(f(e^x)=x+e^x),
两边对(x)求导,得到(f'(e^x)cdot e^x=1+e^x),
即(f'(e^x)=cfrac{1}{e^x}+1),令(e^x=1),
即(x=0),代入得到(f'(1)=cfrac{1}{1}+1=2).
待定系数法
操作说明:适用于已知函数的类型, 比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等;
分析:由于函数(f(x))是一次函数,故我们可以合理的设函数(f(x)=ax+b),
则(f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=x+2),
故有(a^2=2),(ab+b=1),
解得(a=1,b=1),故所求为(f(x)=x+1);
解后反思:当已知了函数的类型,比如一次函数(需要知道两个点的坐标)、二次函数(需要知道三个点的坐标)、指数函数(需要知道一个点的坐标)、对数函数(需要知道一个点的坐标)、幂函数(需要知道一个点的坐标),等我们就可以用待定系数法求解析式了。
法1:一般式,设(f(x)=ax^2+bx+c(a
eq 0)),
由题意得(egin{cases}4a+2b+c=-1\a-b+c=-1\ cfrac{4ac-b^2}{4a}=8end{cases}),
解得(egin{cases}a=-4\b=4\c=7end{cases}),
故(f(x)=-4x^2+4x+7)。
法2:顶点式,设(f(x)=a(x-m)^2+n),由题意得(n=8),又(f(2)=f(-1)),
故函数的对称轴是(x=cfrac{2+(-1)}{2}=cfrac{1}{2}),故(m=cfrac{1}{2})。
则(y=f(x)=a(x-cfrac{1}{2})^2+8),
又(f(2)=-1),(a(2-cfrac{1}{2})^2+8=-1),
解得(a=-4),故(f(x)=-4x^2+4x+7)。
法3:两根式(零点式),由已知(f(x)+1=0)的两根(x_1=2),(x_2=-1),
故可设(f(x)+1=a(x+1)(x-2)),即(f(x)=ax^2-ax-2a-1),
又函数(f(x)_{max}=8),即(cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8),
解得(a=-4)或(a=0(舍去)),故(f(x)=-4x^2+4x+7)。
方程组法
操作说明:适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形
分析:方程组法,用(1-x)替换原方程中的(x),得到(f(1-x)+2f(x)=1-x),
联立两式,则有(egin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\f(1-x)+2f(x)=1-xend{cases}),
解以(f(x))和(f(1-x))为元的二元一次方程组,
解得(f(x)=cfrac{2}{3}-x);
分析:方程组法,用(2-x)替换原方程中的(x),得到(f(2-x)+2f(x)=2-x),联立两式,解得(f(x)=?);
分析:方程组法,用(-x)替换原方程中的(x),
分析:方程组法,用(cfrac{1}{x})替换原方程中的(x),
分析:方程组法,用(cfrac{2}{x})替换原方程中的(x),
提示:(f(x)=cfrac{2}{3}sqrt{x}+cfrac{1}{3});
提示:(f(x)=cfrac{2}{3}lg(x+1)+cfrac{1}{3}lg(1-x)),(xin (-1,1)).
解后反思:由于两个自变量整体的和或者积为定值,故一旦替换,原来(A)位置上就变成了(B),原来(B)位置上就变成了(A),这样就构成了方程组,解之即得。
奇偶性法
利用奇偶性求解析式,备注:近年高考的热点,最好不要掌握简洁方式,要老实掌握解析式的求法;
法1:当(x >0)时,(-x <0),(f(-x)=-2x^3+x^2),
又函数是奇函数,故(f(x)=-f(-x)=2x^3-x^2),
即(x >0)时的解析式(f(x)=2x^3-x^2);又(f(0)=0)
故解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{2x^3+x^2,xleqslant 0}\{2x^3-x^2,x>0}end{array} ight.)
故(f(2)=2 imes 2^3-2^2=12);
法2:求(f(2))的值还可以这样做,不求解析式,利用奇偶性求值。
(f(-2)=-12),(f(2)=-f(-2)=12);
分析:由题目可知,奇函数满足(f(x)+f(-x)=0),偶函数满足(g(x)=g(-x))
又题目已知(f(x)-g(x)=x^3+x^2+1)①,
则有(f(-x)-g(-x)=-x^3+x^2+1)②,
两式相加得到,([f(x)+f(-x)]-[g(x)+g(-x)]=2(x^2+1)),
即(-2g(x)=2(x^2+1)),则(g(x)=-x^2-1),
代入①式得到,(f(x)=x^3),
故所求解析式(f(x)=x^3),(g(x)=-x^2-1)。
分析:利用偶函数性质求解析式,
设(x>0),则(-x<0),则(f(-x)=e^{x-1}+x),由于(f(x))为偶函数,
所以(f(-x)=f(x)),故(f(x)=e^{x-1}+x),
即其解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{e^{-x-1}-x,xleqslant 0}\{e^{x-1}+x,x>0}end{array} ight.)
由于(x>0)时,(f'(x)=e^{x-1}+1),所以(f'(1)=e^{1-1}+1=2),
所以曲线(y=f(x))在点((1,2))处的切线方程为(y-2=2(x-1)),即(2x-y=0)。
对称性法
利用对称性求解析式,备注:近年高考的热点
法1:利用函数的对称性,先求(x<1)时的函数解析式。
由于(f(1-x)+f(1+x)=2),则有(f(x)+f(2-x)=2),
故(f(x)=2-f(2-x));
又当(x<1)时,(2-x>1)
即(x<1)时的解析式为
(f(x)=2-f(2-x)=2-cfrac{2-x}{e^{2-x-2}}=2-cfrac{2-x}{e^{-x}}),
则(f'(x)=-cfrac{-1cdot e^{-x}-(2-x)cdot(-e^{-x})}{(e^{-x})^2}=-cfrac{1-x}{e^{-x}})
故(f'(0)=-1),又(f(0)=0),即切点为((0 ,0)),
由点斜式可得切线方程为:(y=-x)
法2:由(f(1-x)+f(1+x)=2),得到函数(f(x))关于点((1,1))中心对称;
令(x=1),得到(f(0)+f(2)=2),
又函数(f(x))关于点((1,1))中心对称;
故(f'(0)=f'(2))
则(f'(0)=f'(2)=f'(x)_{|x=2}=-1),
又(f(0)=2-f(2)=0),即切点为((0 ,0)),
由点斜式可得切线方程为:(y=-x)
分析:当(x<1)时,(2-x>1),故有(f(2-x)=(2-x-1)^2=(x-1)^2),
又(f(x)=f(2-x)=(x-1)^2),
故(x<1)时,(f(x)=(x-1)^2),
综上,(f(x)=(x-1)^2(xin R))。
分析:设(f(x))图像上任一点(P(x,y)),
则点(P)关于((0,1))点的对称点(P'(-x,2-y))必在(h(x))的图像上,
即(2-y=-x-cfrac{1}{x}+2),
即所求解析式为(f(x)=x+cfrac{1}{x}(x
eq 0))。
周期性法
利用周期性求解析式,备注:冷门
分析:当(2< x <4)时,(0< x-2<2),
故(f(x-2)=(x-2)^2),
又由于(f(x)=f(x-2)),则(f(x)=(x-2)^2)
即(2< x <4)时的解析式(f(x)=(x-2)^2)。
- 7-1、综合几个方法求解
分析:本题目的本质是求解函数(f(x))的解析式;属于利用函数的多个性质求解函数的解析式;
[法1]:由于(f(x+2)+f(x)=0),即(f(x+2)=-f(x)),故(T=4),又(y=f(x))是(R)上的奇函数,
故可以先利用奇偶性求得(xin [0,2])上的解析式;
当(xin [0,2])时,(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2 imes (-x)]=x^2-2x),
再利用周期性求得(xin [4,6])上的解析式;
当(xin [4,6])时,(x-4in [0,2]),(f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2 imes (x-4)=x^2-10x+24),
接下来求解(xin [4,6])时函数(f(x)=x^2-10x+24)的最小值;
(f(x)=(x-5)^2-1),(xin [4,6]),故(f(x)_{min}=f(5)=-1);故选(B);
[法2]:当求得(xin [0,2])时,(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2 imes (-x)]=x^2-2x),
由于函数的周期为(4),故函数(f(x))在(xin [0,2])段上的值域和(xin [4,6])段上的值域相同,
故只需要求解(xin [0,2])时,(f(x)=x^2-2x)的最小值即可,(f(x)=(x-1)^2-1),
故(f(x)_{min}=f(1)=-1),故(xin [4,6])上的最小值也是(-1),故选(B);
[法3]:如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉,还可以这样求解如下:
由于周期为(T=4),故有(f(x+4)=f(x)),又由于函数为奇函数,故(f(x)=-f(-x)),
则得到(f(x+4)=-f(-x)),这个表达式刻画的是函数的对称性,关于点((2,0))成中心对称;
若(xin[0,2]),则此时(f(-x))可解,且(f(x+4))即表达函数在(xin [4,6])上的解析式;
故(f(x+4)=-f(-x)=-[[-(-x)^2-2 imes (-x)]]=x^2-2x),(xin [0,2]),
直接求(y=x^2-2x),(xin [0,2])上的最小值即可,同上可知此时(y_{min}=y_{|x=1}=-1),
故所求的最小值为(-1),故选(B);
其实做个代换,即能得到(xin [4,6])上的解析式;分析如下,
由于(f(x+4)=x^2-2x),(xin [0,2]),令(x+4=t),则(tin [4,6]),则(xin t-4)
故(f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24),即(f(x)=x^2-10x+24),(xin [4,6]);
法1:利用奇偶性和周期性求解;
令(xin [-1,0]),则(-xin[0,1]),则(f(-x)=log_2(-x+1)),又由偶函数得到(f(x)=f(-x)=log_2(-x+1));
令(xin [1,2]),则(x-2in [-1,0]),则(f(x-2)=log_2[-(x-2)+1]=log_2(3-x)),又由周期性得到(f(x)=f(x-2)=log_2(3-x));
法2:利用对称性,由(f(x+2)=f(x))以及(f(x)=f(-x)),得到(f(2+x)=f(-x)),即(f(x)=f(2-x)),
当(xin [1,2])时,(2-xin [0,1]),故(f(x)=f(2-x)=log_2[(2-x)+1]=log_2(3-x));
赋值法
利用赋值法求解析式,备注:冷门
分析:令(y=x),代入原式得到(f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)),
即(f(x)-x(x+1)-f(0)=0),
即(f(x)=x^2+x+1)
分析:令(x=cfrac{1}{2}),则(f(cfrac{1}{2})=1+f(cfrac{1}{2})cdot log_2cfrac{1}{2}),
即(f(cfrac{1}{2})=1-f(cfrac{1}{2})),解得(f(cfrac{1}{2})=cfrac{1}{2}),
故所求解析式为(f(x)=1+cfrac{1}{2}log_2x),
则(f(2)=1+cfrac{1}{2}=cfrac{3}{2})。
适当化简
定义域优先原则也适用求解析式
分析:本题目主要考察对题目隐含条件的挖掘能力,本题目乍一看似乎很生猛,
但是如果有定义域优先的意识,注意到右端真数位置的(sqrt{x|x|}),
应该知道定义域(xin(0,+infty)),这样所给的解析式就能很快化简了。
即(f(cfrac{2}{x+|x|})=f(cfrac{2}{2x})=f(cfrac{1}{x})=log_2 {sqrt{x|x|}}=log_2 x),
即(f(cfrac{1}{x})=log_2 x(x>0)),做代换令(cfrac{1}{x}=t(t>0)),
则(f(t)=log_2 cfrac{1}{t}=-log_2 t(t>0)),
故所求的(f(x)=-log _2 x (x>0))。
三角函数法
1、求正弦型函数的解析式;
应用题
实际问题中求解析式(勿忘定义域)
(Ⅰ)求函数(f(x))的解析式并指明定义域;
分析:(Ⅰ)结合两点距离公式和面积公式写出面积解析式;
解答:(Ⅰ)由题可知,点(A(x,2x)(x>0)),点(B(x,-x^2+4)),
故(|AD|=x),(|AB|=-x^2-2x+4),
则可知矩形(ABCD)的面积为(f(x)=|AD|cdot |AB|=xcdot (-x^2-2x+4)=-x^3-2x^2+4x).
令(2x=-x^2+4),解得(x=pmsqrt{5}-1),舍去负值,即(x=sqrt{5}-1),即定义域为(0< x <sqrt{5}-1),
故函数(f(x))的解析式为(f(x)=-x^3-2x^2+4x(0< x <sqrt{5}-1))。
特殊方法
已知函数(f(x)=x^2+2f'(2)cdot x+1),求函数的解析式(f(x)).
分析:给原式两边同时求导,可得(f'(x)=2x+2f'(2)),
再令(x=2)得到(f'(2)=4+2f'(2)),
解得(f'(2)=-4),可知(f(x)=x^2-8x+1)。
设函数(f(x)=ax-cfrac{b}{x}),曲线(y=f(x))在点((2,f(2)))处的切线方程为(7x-4y-12=0)。
(1)求(f(x))的解析式;
分析:方程(7x-4y-12=0)可化为(y=cfrac{7}{4}x-3),
当(x=2)时,(y=12).
又(f′(x)=a+cfrac{b}{x^2}),于是(2a-cfrac{b}{2}=12),
(a+cfrac{b}{4}=cfrac{7}{4}),
解得(a=1,b=3),
故(f(x)=x-cfrac{3}{x})。
已知函数(f(x))在定义域((0,+infty))上是单调函数,若对于任意(xin(0,+infty))都有(f(f(x)-cfrac{1}{x})=2),则函数(f(x))的解析式为【】
A、(f(x)=x;;;;;) B、(f(x)=cfrac{1}{x};;;;;) C、(f(x)=x+1;;;;;) D、(f(x)=cfrac{1}{x};;;;;)
分析:令自变量位置的整体(f(x)-cfrac{1}{x}=t),则(f(x)=t+cfrac{1}{x}),且有(f(t)=2);
又令(f(x)=t+cfrac{1}{x})中的(x=t),得到(f(t)=t+cfrac{1}{t}),结合(f(t)=2),
得到(t+cfrac{1}{t}=2),又定义域是((0,+infty)),解得(t=1),
故代入(f(x)=t+cfrac{1}{x})得到解析式为(f(x)=cfrac{1}{x}+1)。
(f(x)=x^2+2int_{0}^{1}f(x)dx),则(int_{0}^{1}f(x)dx)的值为多少?并求(f(x))的解析式。
分析:注意到表达式(int_{0}^{1}f(x)dx)应该是个实数,故两边同时取定积分得到
(int_{0}^{1}f(x);dx=int_{0}^{1}x^2;dx+int_{0}^{1}[2int_{0}^{1}f(x)dx]dx),
即就是(int_{0}^{1}f(x);dx=int_{0}^{1}x^2;dx+[2int_{0}^{1}f(x)dx]cdotint_{0}^{1}1cdot dx),
即(int_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{x^3}{3}|_0^1+[2int_{0}^{1}f(x)dx]cdot x|_0^1),
即(int_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{1}{3}+2int_{0}^{1}f(x)dx),
即(int_{0}^{1}f(x);dx=-cfrac{1}{3}).
故(f(x)=x^2-cfrac{2}{3})。
(x) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
(y) | (4.0) | (a-5.4) | (-0.5) | (0.5) | (b-0.6) |
得到的回归直线方程为(hat{y}=hat{b}x+hat{a}),若样本点的中心为((5,0.9)),则当(x)每增加1个单位,(y)就【】
(A.)增加1.4个单位; (qquadqquadqquadqquadqquadqquad) (B.)减少1.4个单位;
(C)增加7.9个单位; (qquadqquadqquadqquadqquadqquad) (D.)减少7.9个单位;
分析:由题意可知,(cfrac{a+b-2}{5}=0.9),即(a+b=6.5)①,
有样本中心点为((5,0.9))在回归直线上,则(0.9=5b+a)②,
联立①②,解得(b=-1.4),(a=7.9),
则回归直线方程为(hat{y}=-1.4x+7.9)。
故可知则当(x)每增加1个单位,(y)就减少1.4个单位;故选(B)。
分析:设反比例函数的解析式为(y=cfrac{k}{x}(k
eq 0)),则由反比例函数过点((m,m))和点(2m,-1),可知
(k=m^2=-2m),解得(m=0(舍去))或(m=-2),即(k=m^2=4),故反比例函数解析式为(y=cfrac{4}{x})。
高阶考查
已知定义在(R)上的函数(f(x))的导函数为(f'(x)),且(f(x)+f'(x)=cfrac{2x-1}{e^x}),若(f(0)=0),则函数(f(x))的单调递减区间为【】
分析:由(f(x)+f'(x)=cfrac{2x-1}{e^x}),得到(e^xcdot f(x)+e^xcdot f'(x)=2x-1),
令(g(x)=e^xcdot f(x)),则(g'(x)=e^xcdot f(x)+e^xcdot f'(x)=2x-1),则(g(x)=x^2-x+C),
由于(f(0)=0),则(g(0)=e^0cdot f(0)=0),则(g(x)=x^2-x);
这样从两个不同的角度得到了同一个函数(g(x)),则(g(x)=x^2-x=e^xcdot f(x)),解得(f(x)=cfrac{x^2-x}{e^x});
接下来用导数的方法,求函数(f(x))的单调区间即可,(f'(x)=cdots=cfrac{-x^2+3x-1}{e^x}=-cfrac{(x-cfrac{3-sqrt{5}}{2})(x-cfrac{3+sqrt{5}}{2})}{e^x})
故单调递减区间为((-infty,cfrac{3-sqrt{5}}{2})和(cfrac{3+sqrt{5}}{2},+infty)),故选(A)。
分析:本题目的难点之一是利用代换法先求得函数(f(x))的解析式;然后再求正实数(m)的取值范围。
由于任意不等正数(x_1)、(x_2),有([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0),则(f(x))在((0,+infty))上单调递增,
令(f(x)-lnx=t),则(f(t)=1)①,又由于(f(x)-lnx=t),即(f(x)=lnx+t),令(x=t),则(f(t)=lnt+t)②,
由①②可知,(lnt+t=1),即(lnt=1-t),观察可知,(t=1),即函数(f(x))的解析式为(f(x)=lnx+1);
接下来,用常规方法求正实数(m)的取值范围。
由题目可知,(g(x)=lnx+1+cfrac{1}{x}-m^2+m)有两个不同的零点,即方程(lnx+1+cfrac{1}{x}-m^2+m=0)有两个不同的根,
整体分离参数得到,(m^2-m=lnx+1+cfrac{1}{x}),令(h(x)=lnx+1+cfrac{1}{x}),
则(h'(x)=cfrac{x-1}{x^2}),则(xin (0,1))时,(h'(x)<0),(h(x))单调递减,(xin (1,+infty))时,(h'(x)>0),(h(x))单调递增,
故(h(x)_{min}=h(1)=2),要使得方程(h(x)=m^2-m)有两个不同的交点,则必须满足(m^2-m>h(x)_{min}),
则题目转化为(m^2-m>2),解得(m<-1)或(m>2),又由(m>0),可得(m>2),
即正实数(m)的取值范围是((2,+infty)).
分析:由(f(x)=left{egin{array}{l}{2-|x|,xleq 2}\{(x-2)^2,x>2}end{array} ight.),得到
(f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|,2-xleq 2}\{(2-x-2)^2,2-x>2}end{array} ight.),
即(f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|,xge 0}\{x^2,x<0}end{array} ight.),
再分类讨论去掉绝对值符号得到
(f(2-x)=left{egin{array}{l}{4-x,x>2}\{x,0leq xleq 2}\{x^2,x<0}end{array} ight.),
故当(x<0)时,(g(x)=3-x^2),(f(x)=2+x),
当(0leq xleq 2)时,(g(x)=3-x),(f(x)=2-x),
当(x>2)时,(g(x)=x-1),(f(x)=(x-2)^2),
由函数(y=f(x)-g(x))的零点个数即为方程(f(x)=g(x))的根的个数,故有
当(x<0)时,(3-x^2=2+x),解得(x=cfrac{-1-sqrt{5}}{2})或(x=cfrac{-1+sqrt{5}}{2})(舍去);
当(0leq xleq 2)时,(3-x=2-x),则方程无解;
当(x>2)时,(x-1=(x-2)^2),即(x^2-5x+5=0),解得(x=cfrac{5+sqrt{5}}{2})或(x=cfrac{5-sqrt{5}}{2})(舍去);
故方程(f(x)=g(x))的根的个数为(2)个,即函数(y=f(x)-g(x))的零点个数为(2)个。
法1:从数的角度分析,由(f(2)=1),得到(cfrac{2}{2a+b}=1),即(2a+b=2);
由(f(x)=x),得到(cfrac{x}{ax+b}=x),变形得到(x(cfrac{1}{ax+b}-1)=0),
解此方程得到,(x=0)或(x=cfrac{1-b}{a}),又由于方程有唯一解,故(cfrac{1-b}{a}=0),
解得(b=1),代入(2a+b=2)得到(a=cfrac{1}{2}),
再将(x=0)代入方程(cfrac{x}{ax+b}=x)检验,发现此时要方程有意义,必须(b eq 0),
故上述的解法可能丢失了(b=0)的情形,当(b=0)时,代入(2a+b=2),得到(a=1),
代入验证也满足题意,故(a=cfrac{1}{2})且(b=1)或者(a=1)且(b=0)
综上所述,(f(x)=cfrac{2x}{x+2})或者(f(x)=cfrac{x}{1cdot x+0}=1)。
法2:从形的角度分析,图形解释如下。
分析:当(-1leqslant xleqslant 0)时,设解析式为(y=kx+b(k eq 0)),则(left{egin{array}{l}{-k+b=0}\{b=1}end{array} ight.),
解得(left{egin{array}{l}{k=1}\{b=1}end{array} ight.),即(y=x+1),
当(x>0)时,设解析式为(y=a(x-2)^2-1(a eq 0)),由于图像过((4,0)),
代入解得(a=cfrac{1}{4}),即(y=cfrac{1}{4}(x-2)^2-1),
综上所述,函数的解析式为
(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,-1leqslant x leqslant 0}\{cfrac{1}{4}(x-2)^2-1,x>0}end{array} ight.)