知识点题型
1、角的集合表示：角的终边在直线上，角的终边在射线上，在扇形内，在对顶扇形内，象限角，象限界角，区间角等。
2、弧长与扇形面积公式及其应用，
方法：均值不等式（两种形式）；二次函数（变量集中）
3、已知角(alpha)的象限，判断(cfrac{alpha}{n})的象限 方法：计算法， 八卦图法
4、考察三角函数的定义，单位圆定义是特例。更一般的定义是利用坐标之比定义。和圆的参数方程形式有关联。
5、三角函数值符号的判断
6、解三角不等式 法1：三角函数线的应用。 法2、三角函数图像
7、同角三角函数基本关系的应用 齐次式， (sinalpha+cosalpha)， (sinalpha-cosalpha)， (sinalphacdot cosalpha)，知一求二
8、【三角函数图像和性质，(y=sin x)，(y=cos x)等模板函数】三角函数的定义域(Longrightarrow)解三角不等式，
三角函数的值域 直接法，化一法，换元法
9、求三角函数的单调区间 代换法 图像法
10、求三角函数的奇偶、周期、对称性， 整体法+模板法
11、作函数(y=Asin(omega x+phi)+k)的图像 五点法 快速作图法
12、函数(y=Asin(omega x+phi)+k)的图像变换 实质：替换
13、由图像或文字确定函数(y=Asin(omega x+phi)+k)的四个参数，待定系数法 +具体确定公式
14、函数(y=Asin(omega x+phi)+k)的图像和性质 以(y=sin x)为模板，各种性质
15、函数(y=Asin(omega x+phi)+k)的模型应用 三角函数应用题目
16、三角函数式的化简
方法：异名化同名，异角化同角，异次化同次，弦切互化，1的代换，通分，约分，特殊值特殊角互化
-
(1+sin heta+cos heta=sin heta+(1+cos heta)=2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}+2cos^2cfrac{ heta}{2}=2coscfrac{ heta}{2}(sincfrac{ heta}{2}+coscfrac{ heta}{2}))
-
(1+sin heta-cos heta=sin heta+(1-cos heta)=2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}+2sin^2cfrac{ heta}{2}=2sincfrac{ heta}{2}(sincfrac{ heta}{2}+coscfrac{ heta}{2}))
17、三角函数的求值
类型一：给角求值 (Longrightarrow)化简
类型二：给值求值 方法：从观察已知角入手，给一个角求一个角，利用余、补、半、倍、特等建立关系；给两个角求一个角，利用和、差建立关系
类型三：给值求角(Longrightarrow)转化为给值求值+角的范围(注意：所求角的三角函数的确定有原则，角的范围可能需要结合题目压缩)
18、简单的三角恒等变换
19、正弦定理和余弦定理的各种形式记忆、公式的内容及其证明，
20、应用正弦定理和余弦定理解三角形 理解掌握她们各自解决的两种类型。
21、判断三角形的形状。 （三角形内的诱导公式） 及其P61充要条件
方法：角化边，边化角。约分时要注意在三角形中(sinA e 0)，但是(cosA=0)是可能的，要注意排除。 还有 (sin2A=sin2B)的结果的留意。
22、与三角形的面积有关的问题。
23、解三角形应用。理解各种概念 测量距离、高度、角度和平面几何中的应用
重点难点
1、关于(sin heta、cos heta)的齐次式变量集中
①一次齐次式， 如(asin heta+bcos heta)，常借助分式形式考察(cfrac{asin heta+bcos heta}{csin heta+dcos heta}) ((a,b,c,d)为常数)
②二次齐次式， 如(asin2 heta+bsin hetacos heta+ccos2 heta)，(sin2 heta)， (cos2 heta)，(1+sin2 heta)， (2-cos2 heta)，(3sin2 heta-2cos2 heta)， 等等
思路：可以恢复分母(1=sin^2 heta+cos^2 heta)，变成分子分母都是二次齐次式，
③四次齐次式，如已知(tan heta=3)，求值(sin^4 heta-3sin hetacdot cos^3 heta+cos^4 heta)；
思路：恢复分母(1=1^2=(sin^2 heta+cos^2 heta)^2)，变成分子分母都是四次齐次式，
分析：原式=(cfrac{sin^4 heta-3sin hetacdot cos^3 heta+cos^4 heta}{(sin^2 heta+cos^2 heta)^2})
(=cfrac{sin^4 heta-3sin hetacdot cos^3 heta+cos^4 heta}{sin^4 heta+cos^4 heta+2sin^2 hetacdot cos^2 heta})，给分子分母同时除以(cos^4 heta)得到，
(=cfrac{tan^4 heta-3tan heta+1}{tan^4 heta+2tan^2 heta+1})，然后代值计算。
④一次齐次式变为二次齐次式的思路：两边平方+恢复分母1，
2、三角函数的求值三角函数求值
类型一：给角求值 (Longrightarrow)化简
类型二：给值求值 方法：从观察已知角入手，给一个角求一个角，利用余、补、半、倍、特等建立关系；给两个角求一个角，利用和、差建立关系
类型三：给值求角(Longrightarrow)转化为给值求值+角的范围(注意：所求角的三角函数的确定有原则，角的范围可能需要结合题目压缩)
3、解三角形
4、三角函数和解三角形的交汇处的题型
这类题目往往会设置第一问求一个角（如(A)）,第二问已知边(a)（注意对角和对边的关系），接下来可以考查的方向有
①再已知(S_△)，求解(b+c)的取值范围； 或者已知(b+c)求(S_△)的取值范围。
②求解(msinB+nsinC)的取值范围((m、n)是实数)
③求解(msinBcdot nsinC)的取值范围((m、n)是实数)
④求解(S_△=cfrac{1}{2}bcsinA)的取值范围
⑤求解周长的取值范围 (l=a+b+c)
⑥求解类似周长的取值范围 (l=2a+3b-c)
⑦难点：自变量的取值范围，已知三角形和锐角三角形时，自变量的范围是不一样的。
常用公式
①数学常识三角函数内容
②三角函数知识点三角函数识记
典型例题
①将函数转化为正弦型；②求周期；③求值域；④求单调区间；⑤求对称性；⑥求奇偶性；
变形方向：正弦型(或余弦型)；变形公式：逆用二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式；
(f(x)=sin2x+sqrt{3}(1+cos2x)-sqrt{3}+1)
(=sin2x+sqrt{3}cos2x+1)
(=2sin(2x+cfrac{pi}{3})+1)
①求周期；
由(T=cfrac{2pi}{2})，得到(T=pi)
②求值域((xin R 或 xin [-cfrac{pi}{3}，cfrac{pi}{4}]))；最值(和最值点)；
若(xin R)，则
当(sin(2x+cfrac{pi}{3})=1)时，即(2x+cfrac{pi}{3}=2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，即(x=kpi+cfrac{pi}{12}(kin Z))时，(f(x)_{max}=2 imes1+1=3)；
当(sin(2x+cfrac{pi}{3})=-1)时，即(2x+cfrac{pi}{3}=2kpi-cfrac{pi}{2}(kin Z))，即(x=kpi-cfrac{5pi}{12}(kin Z))时，(f(x)_{max}=2 imes(-1)+1=-1)；
若(xin [-cfrac{pi}{3}，cfrac{pi}{4}])，则可得
(-cfrac{2pi}{3}leq 2xleq cfrac{pi}{2})，则(-cfrac{pi}{3}leq 2x+cfrac{pi}{3}leq cfrac{5pi}{6})，
故当(2x+cfrac{pi}{3}=-cfrac{pi}{3})，即(x=-cfrac{pi}{3})时，(f(x)_{min}=f(-cfrac{pi}{3})=2 imes (-cfrac{sqrt{3}}{2})+1=-sqrt{3}+1)；
故当(2x+cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{2})，即(x=cfrac{pi}{12})时，(f(x)_{max}=f(cfrac{pi}{12})=2 imes 1+1=3)；
③求单调区间(left(xin R 或xin [-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}] ight))(具体解法参见例2的法1和法2)
④求函数(f(x))对称轴方程和对称中心坐标；
令(2x+cfrac{pi}{3}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，得到(f(x))对称轴方程为(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{12}(kin Z))；
令(2x+cfrac{pi}{3}=kpi(kin Z))，得到(f(x))的对称中心坐标为((cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{6}，1)(kin Z))
⑤求奇偶性(left(奇函数利用f(0)=0；偶函数利用f(0)=f(x)_{max}或f(x)_{min} ight))
比如，函数(g(x)=2sin(2x+phi+cfrac{pi}{3})(phiin (0，pi)))是偶函数，求(phi)的值。
分析：由于函数(g(x))是偶函数，则在(x=0)处必然取到最值，
故有(2 imes 0+phi+cfrac{pi}{3}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，
则(phi=kpi+cfrac{pi}{6}(kin Z))
令(k=0)，则(phi=cfrac{pi}{6}in (0，pi))，满足题意，故所求(phi=cfrac{pi}{6})时，函数(g(x))是偶函数。
解析：先将所给函数化简为正弦型或者余弦型，
(f(x)=4tanxcdot cosx(cosxcdot cfrac{1}{2}+sinxcdot cfrac{sqrt{3}}{2})-sqrt{3})
(=4sinx(cosxcdot cfrac{1}{2}+sinxcdot cfrac{sqrt{3}}{2})-sqrt{3}=2sinxcosx+2sqrt{3}sin^2x-sqrt{3})
(=sin2x+sqrt{3}(1-cos2x)-sqrt{3}=sin2x-sqrt{3}cos2x)
(=2sin(2x-cfrac{pi}{3}))
法1：先求解函数在(xin R)上的单调区间，
令(2kpi-cfrac{pi}{2}leq 2x-cfrac{pi}{3}leq 2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，
得到单调递增区间为([kpi-cfrac{pi}{12}，kpi+cfrac{5pi}{12}](kin Z))，
又因为(xin [-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{4}])
然后给(k)赋值，令(k=0)，
得到函数在区间([-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{4}])上单调递增，在区间([-cfrac{pi}{4}，-cfrac{pi}{12}])上单调递减。
法2：由(-cfrac{pi}{4}leq xleq cfrac{pi}{4})，求得(-cfrac{5pi}{6}leq 2x-cfrac{pi}{3}leq cfrac{pi}{6})，
结合横轴为(2x-cfrac{pi}{3})的图像可知，
当(-cfrac{5pi}{6}leq 2x-cfrac{pi}{3}leq -cfrac{pi}{2})时，求得函数在区间([-cfrac{pi}{4}，-cfrac{pi}{12}])单调递减；
当(-cfrac{pi}{2}leq 2x-cfrac{pi}{3}leq cfrac{pi}{6})时，求得函数在区间([-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{4}])单调递增；
(1).求角(C)的大小。
(2).求(cfrac{a+b}{c})的取值范围。
分析：(1)角化边，由(cfrac{a}{2R}=sinA，cfrac{b}{2R}=sinB，cfrac{c}{2R}=sinC)
得到(a^2+b^2+ab=c^2)，即(a^2+b^2-c^2=-ab)，
故由余弦定理得到(cosC=cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-cfrac{1}{2})，
又(Cin (0，pi))，故(C=cfrac{2pi}{3})。
(2)由(1)可知，(A+B=cfrac{pi}{3})，即(A=cfrac{pi}{3}-B)
边化角，由(a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC)
(cfrac{a+b}{c}=cfrac{sinA+sinB}{sinC}=cfrac{2sqrt{3}}{3}(sinA+sinB))
(=cfrac{2sqrt{3}}{3}[sin(cfrac{pi}{3}-B)+sinB])
(=cfrac{2sqrt{3}}{3}[cfrac{sqrt{3}}{2}cosB-cfrac{1}{2}sinB+sinB])
(=cfrac{2sqrt{3}}{3}(cfrac{1}{2}sinB+cfrac{sqrt{3}}{2}cosB))
(=cfrac{2sqrt{3}}{3}sin(B+cfrac{pi}{3}))，
计算角B的取值范围由(egin{cases}B>0\ cfrac{pi}{3}-B>0end{cases})得出，(Bin (0,cfrac{pi}{3}))
故(B+cfrac{pi}{3}in (cfrac{pi}{3},cfrac{2pi}{3}))，则$cfrac{sqrt{3}}{2} < sin(B+cfrac{pi}{3}) leq 1 $
(1<cfrac{2sqrt{3}}{3}cdot sin(B+cfrac{pi}{3}) leq cfrac{2sqrt{3}}{3})，则(cfrac{a+b}{c})的取值范围为((1，cfrac{2sqrt{3}}{3}])。
法1：变形得到(cfrac{sqrt{2}}{2}(sinalpha+cosalpha)=cfrac{sqrt{2}}{10})，解得(sinalpha+cosalpha=cfrac{1}{5})，
又因为(alpha)为第二象限角，再结合勾股数可得(sinalpha=cfrac{4}{5}，cosalpha=-cfrac{3}{5})；故(tanalpha=-cfrac{4}{3})，
又由八卦图法可知(cfrac{alpha}{2})在第一、三象限，故(tancfrac{alpha}{2}>0)，
再由(tanalpha=-cfrac{4}{3}=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-(tancfrac{alpha}{2})^2})，
解方程得到(tancfrac{alpha}{2}=2)；
法2：同上法，得到(sinalpha=cfrac{4}{5}，cosalpha=-cfrac{3}{5})；
(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{sincfrac{alpha}{2}}{coscfrac{alpha}{2}}=cfrac{2sincfrac{alpha}{2}coscfrac{alpha}{2}}{2coscfrac{alpha}{2}coscfrac{alpha}{2}})
(=cfrac{sinalpha}{1+cosalpha}=cfrac{cfrac{4}{5}}{1-cfrac{3}{5}}=2)；
分析：这类题目一般需要先将(f(x))转化为正弦型或者余弦型，再利用给定的条件分别求(omega)和(phi)，
由(f(x)=2Acos^2(omega x+phi)=A[cos2(omega x+phi)+1]=Acos(2omega x+2phi))，
故其周期为(T=cfrac{2pi}{2omega}=cfrac{pi}{omega})，
又由题目可知(cfrac{T}{4}=cfrac{pi}{3}-cfrac{pi}{12}=cfrac{pi}{4})，则(T=pi=cfrac{pi}{omega})，
故(omega=1)，则函数简化为(f(x)=Acos(2x+2phi))，
再利用直线(x=cfrac{pi}{3})是函数(f(x))图象上的一条对称轴，
故(2 imes cfrac{pi}{3}+2phi=kpi,(kin Z)),
解得(phi=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{3})，令(k=1)，则(phi=cfrac{pi}{6}in (0,cfrac{pi}{2}))，
满足题意，故(f(x)=Acos(2x+2phi)=Acos(2x+cfrac{pi}{3})).
令(2kpi-pileq 2x+cfrac{pi}{3}leq 2kpi(kin Z))，
解得(kpi-cfrac{2pi}{3}leq x leq kpi-cfrac{pi}{6})，
即单调递增区间为(A．[kpi-cfrac{2pi}{3} ，kpi-cfrac{pi}{6}](kin Z));
分析：(巧设比例因子)设(tanA=k,tanB=2k,tanC=3k,(k>0)),
则由(tanA imes tanB imes tanC=tanA+tanB+tanC)可知，
(6k=6k^3),解得(k=1).则有(tanA=1,tanB=2,tanC=3),
再设比例因子，比如设(sinB=2m,cosB=m,(m>0)),由平方关系可得，(5m^2=1,m=cfrac{1}{sqrt{5}}),
故(sinB=cfrac{2}{sqrt{5}},sinC=cfrac{3}{sqrt{10}}),则(cfrac{AC}{AB}=cfrac{sinB}{sinC}=cfrac{cfrac{2}{sqrt{5}}}{cfrac{3}{sqrt{10}}}=cfrac{2sqrt{2}}{3}).
(1)求角(A)的大小；(考查角度：解三角形)
(2)若(a=3)，求(Delta ABC)的周长的最大值。(考查角度：三角函数图像性质)
分析：(1)由((2b-c)cdot cosA=acdot cosC)及正弦定理，
得((2sinB-sinC)cosA=sinAcosC)，
所以(2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC)， 所以(2sinBcosA=sin(C+A)=sinB)，
因为(Bin (0，π))，所以(sinB eq 0)，
因为(Ain (0，π))，(cosA=cfrac{1}{2})，所以$A=cfrac{pi}{3} $。
(2)由(1)得$A=cfrac{pi}{3} $，
由正弦定理得(cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC} =cfrac{a}{sinA} =cfrac{3}{frac{sqrt{3}}{2}} =2sqrt{3})，
所以(b=2sqrt{3}cdot sinB)； (c=2sqrt{3}cdot sinC)，
(Delta ABC)的周长：(l=3+2sqrt{3}cdot sinB+2sqrt{3}cdot sinC)
(=3+2sqrt{3}cdot sinB+2sqrt{3}cdot sin(cfrac{2pi}{3}-B))
(=3+2sqrt{3}cdot sinB+2sqrt{3}cdot (cfrac{sqrt{3}}{2}cosB+cfrac{1}{2}sinB))
(=3+3sqrt{3}sinB+3cosB=3+6sin(B+cfrac{pi}{6}))
因为(Bin(0，cfrac{2pi}{3}))，所以当(B=cfrac{pi}{3}) 时，(Delta ABC)的周长取得最大值，最大值为9。
反思总结：三角函数和解三角形的交汇处的题型
这类题目往往会设置第一问求一个角（如(A)）,第二问已知边(a)（注意对角和对边的关系），接下来可以考查的方向有
①再已知(S_△)，求解(b+c)的取值范围； 或者已知(b+c)求(S_△)的取值范围。
②求解(msinB+nsinC)的取值范围((m、n)是实数)
③求解(msinBcdot nsinC)的取值范围((m、n)是实数)
④求解(S_△=cfrac{1}{2}bcsinA)的取值范围
⑤求解周长的取值范围 (l=a+b+c)
⑥求解类似周长的取值范围 (l=2a+3b-c)
⑦难点：自变量的取值范围，已知三角形和锐角三角形时，自变量的范围是不一样的。
(1)求(cosB).
(2)若(a+c=6)，(S_{Delta ABC}=2)，求(b).
分析：(sin(A+C)=sinB=8cdot cfrac{1-cosB}{2})，得到(sinB=4(1-cosB))，
即(sqrt{1-cos^2B}=4(1-cosB))，平方得到(17cos^2B-32cosB+15=0)。
由十字相乘法得到 ((17cosB-15)(cosB-1)=0)，得到(cosB=cfrac{15}{17})或(cosB=1(舍去))，
故(cosB=cfrac{15}{17})；
(2)若(a+c=6)，(S_{Delta ABC}=2)，求(b).
分析：由(cosB=cfrac{15}{17})得到(sinB=cfrac{8}{17})，
由(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}acsinB=2)得到，(ac=cfrac{17}{2})，
故(b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-2ac-2accosB=6^2-2cdot cfrac{17}{2}-2cdot cfrac{17}{2}cdotcfrac{15}{17}=4)，
故(b=2)。
法1：角化边，得到(2bcdot cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=acdot cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+ccdot cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc})
两边同乘以(abc)，约掉分母，化简整理为(a^2+c^2-b^2=ac)，
故(cosB=cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=cfrac{1}{2})，又(bin (0，pi))，则(B=cfrac{pi}{3})。
法2：边化角，由已知得到(2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB)，故得到(cosB=cfrac{1}{2})，又(Bin (0，pi))，则(B=cfrac{pi}{3})。
分析：(f(x)=sqrt{5}sin(x+phi)(tanphi=2))，故(f(x)_{max}=sqrt{5})。
分析：由于(xin[0，cfrac{pi}{2}])，则(cosxin [0，1])，
令(cosx=tin [0，1])，(f(x)=1-cos^2x+sqrt{3}cosx-cfrac{3}{4}=1-t^2+sqrt{3}t-cfrac{3}{4}=-(t-cfrac{sqrt{3}}{2})^2+1=g(t))，
故当(t=cfrac{sqrt{3}}{2})时，(g(t)_{max}=f(x)_{max}=1)。
反思总结：这类题目常有两个考查方向：①转化为正弦型求最值；②转化为二次型求最值。
分析：由于(sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC)，则有(sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0)，
即(cosAsinC+sinAsinC=0)，又因为(sinC eq 0)，故得到(sinA+cosA=0)，即(tanA=-1) ，即(A=cfrac{3pi}{4})，
由正弦定理(cfrac{a}{sinA}=cfrac{c}{sinC})，将(a=2，c=sqrt{2})代入得到(sinC=cfrac{1}{2})，故(C=cfrac{pi}{6})。
分析：由(tanalpha=2，alphain(0，cfrac{pi}{2}))，故有(sinalpha=2k，cosalpha=k(k>0))，
由平方关系可知(k=cfrac{sqrt{5}}{5})，故(sinalpha=cfrac{2sqrt{5}}{5})，(cosalpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，
则(cos(alpha-cfrac{pi}{4})=cosalphacdot coscfrac{pi}{4}+sinalphacdot sincfrac{pi}{4}=cfrac{sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2}+cfrac{2sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2}=cfrac{3sqrt{10}}{10})。