导数法求极值中的分类讨论和用图技巧

前言

当我们借助导数工具研究函数的单调性、极值、最值时，难在解导函数不等式，此时如果能灵活而恰当的使用函数的图像时，就可以轻松的判断导函数的正负了。

使用步骤

当题目给定函数[数字系数，不含有参数]后，用导数法求数字系数的函数极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数(f'(x))；

③解方程(f'(x)＝0)，求出在函数定义域内的所有根；

④解导函数不等式(f'(x)>0)或(f'(x)<0)，此时若不等式不好解，可以借助导函数的图像，通过解读图像得到解集；

⑤列表检验(f'(x))在(f'(x)＝0)的根(x_0)左右两侧值的符号．

⑥由表格得到极值和极值点；

补充：当函数中含有参数时，用导数法求字母系数的函数极值的步骤：

需要分类讨论；每一种情形都对应上述的求解步骤；

案例解析

设函数 (f(x)=cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{e^{x}}) .

(1)若曲线 (y=f(x)) 在点 ((1, f(1))) 处的切线与直线 (y=1) 平行，求 (a) 的值；

解：因为(f(x)=cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}})，

所以 (f'(x)=cfrac{(2ax+4a-2){e}^{x}-left[ax^{2}+(4a-2)x+4a-6 ight]{e}^{x}}{{e}^{2x}})

(=cfrac{-ax^2-(2a-2)x+4}{e^x}=-cfrac{ax^2+(2a-2)x-4}{e^x})

(=-cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}})〖反思〗：求导的实战中，求导、通分、因式分解等运算往往都是连在一起的。那么为什么要通分呢，由于我们关注导函数的正负，通分后就不需要再关注分母(x)，分母为正，对函数模型做减法，将变量集中到分子上，只需要关注分子就行了；为什么要因式分解呢，我们是为了便于看出来两个零点，便于下一步分类讨论； .

由题设知 (f'(1)=cfrac{-3(a-2)}{e}=0)，解得 (a=2) .

又由于此时 (f(1)=cfrac{10}{e} eq 1)题目告诉函数在点 ((1,f(1))) 处的切线与直线 (y=1) 平行，故需要验证，以保证不能重合；，所以 (a) 的值为 (2) .

(2)若 (f(x)) 在 (x=-2) 处取得极大值，求 (a) 的取值范围. [重难点]

解：由上可知，(f'(x)=-cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}})到此，我们该如何思考呢，当将着眼点只关注(y)(=)(-)((ax-2))(cdot)((x+2))时，发现其为仿二次函数，故需要针对二次项系数分类讨论，因为只有分类讨论才能说清楚导函数的正负；如何分类呢？先分类为(a=0)[一次函数]，再分类为(a>0)和(a<0)[二次函数]，定义域为(R)，

① 当(a=0)时，分子函数简化为(y=2(x+2))，

故当(xin (-infty,-2))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减甚至可以借助更简化的函数(y=x+2)的图像来判断导函数的正负，其中(x)轴上方的函数值为正，下方为负；，

(xin (-2，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

故函数在(x=-2)处取到极小值，不符合题意，舍去.

② 当(a>0)时，分子函数化简为(y=-a(x-cfrac{2}{a})(x+2))此时函数为二次函数，图像为开口向下的抛物线，，且(cfrac{2}{a}>-2)，

当(xin (-infty，-2))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

(xin (-2，cfrac{2}{a}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

(xin (cfrac{2}{a}，+infty))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

故函数在(x=-2)处取到极小值，不符合题意，舍去.

③当(-1<a<0)时这个分类标准是如何来的？当(a<0)时，二次函数的两个零点就有了相等的可能，让两个零点(cfrac{2}{a})(=)(-2)，解得分界点为(a)(=)(-1)，然后通过解(cfrac{2}{a})(<)(-2)得到(-1)(<)(a)(<0)，解(cfrac{2}{a})(>)(-2)得到(a)(<)(-1)，故接下来应该分类讨论以下三种情形：(-1)(<)(a)(<)(0)，(a)(=)(-1)，(a)(<)(-1)，分子函数化简为(y=-a(x-cfrac{2}{a})(x+2))此时函数为二次函数，图像为开口向上的抛物线，，且(cfrac{2}{a}<-2)，