导数章节题型和思维导图

思维导图

  • 利用 mermaid 制作的思维导图,用纯文字绘制思维导图;
graph LR A[(导数及
其应用)] --> B[导数概念和运算]; B--> B1[导数的概念]; B1--> B6[平均变化率
类比平均速度]; B1--> B7{{瞬时变化率
也叫导数
类比瞬时速度}}; B--> B2[公式法求导数]; B--> B3[导数的运算法则]; B--> B4[复合函数的求导]; A --> C[导数几何意义及应用]; C--> C1[求切线方程]; C1--求导得斜率
点斜式写切线方程--> C4{{求在点处的切线}}; C1--设切点求切点
注意高次方程的求解--> C5{{求过点处的切线}}; C--> C2[求切点坐标/斜率等]; C--> C3[求参数值或取值范围]; C3--转化为二次函
数有两个实根--> C6[过某点有两条切线求参数]; C3--利用三个斜率
相等建立方程--> C7[已知公切线求参数]; A --> D[(用导数工
具研究函
数性质)]; D --> D1[相关知识储备] D1 --> E1>函数的单调性与导函数的关系] D1 --> E2[利用导数判断函数单调性的一般步骤] D1 --> E3>利用导数研究函数极值的步骤] D1 --> E4[利用导数研究函数最值的步骤] D --> D2[图象类题目
的考查] D2 --原函数的增减
对应导函数
的正负--> F1[利用原函数的图象确定导函数的图象] D2 --导函数的正负
对应原函数
的增减--> F2[利用导函数的图象确定原函数的图象]
graph LR B[(用导数工具
研究函数
性质)] B-->A[其他类型
的函数] B---> C[(对三次函数
的研究考查)] C--> D[三次函数
有极大值和极小值] D--> D1[二次的导函数有两个变号零点,
对应的二次方程有两个不同的
实根,即其判别式大于零] C--> E[三次函数
与x轴有三个不同的交点] E--> D2[函数的极大值与极小值异号] C--> F[三次函数
恰有三个单调区间] F--> D1 C--> M[三次函数与x轴
恰有一个交点] M--> L[函数是单调函数
或函数的极大值
和极小值同号] C--> G[三次函数
没有极值或极值点] G--> G1[三次函数
是单调函数] C--> H[三次函数
是单调函数] H--> H1[二次导函数
恒为非正或
恒为非负,
即其判别式
小于等于零] G1--> H1 C--> I[三次函数
不是单调函数,
必有三个单调区间] I--> I1[二次导函数
有变号零点,
或二次导函数
方程有穿根解] I--> I2[可先求函数单
调时的取值范围,
再求其补集即可] style C fill:#bbf,stroke:#f66,stroke-2px,color:#fff,stroke-dasharray: 5 5; click C href "https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/5906951.html" _blank;

典例剖析

已知曲线 (C: y=x mathrm{e}^{x}) 过点 (A(a, 0)) 的切线有且仅有两条,则实数(a)的取值范围是(qquad)

$A.(-infty,-4)cup(0,+infty)$ $B.(0,+infty)$ $C.(-infty,-1)cup(1,+infty)$ $D.(-infty,-1)$

解:对函数 (y=xe^{x}) 求导得, (y'=1cdot e^{x}+xcdot e^{x}=(1+x)e^{x})

设切点坐标为 (Pleft(x_{0}, x_{0}{e}^{x} ight)),

则曲线 (y=xe^{x}) 过点 (A(a, 0)) 的切线的斜率 (k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0})

又经过点(A(a,0))和切点(P)的直线的斜率为(k=cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a})

由于是同一条直线,故(k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0}=cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a})

[备注:上述方程的两边同时约去(e^{x_0}),这样原来的超越方程就变化为代数方程,]

分式化整式,化简得到 (x_{0}^{2}-a x_{0}-a=0),依题意知,

上述关于(x_{0})的二次方程有两个不相等的实数根由于此方程有两个不相等的实根,故由(k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0})就能得到两个不同的斜率,结合点(A(a,0)),则能得到两条不同的切线,从而满足过点(A(a,0))的切线有且仅有两条;

所以(Delta =(-a)^{2}-4 imes1 imes(-a)>0), 解得 (a<-4)(a>0), 故选 (A) .

已知函数(f(x)=x^3+ax^2+(a+6)x+1)有极大值和极小值,则(a)的取值范围是(qquad)

$A.-1< a <2$ $B.-3< a <2$ $C.a<-1或a>2$ $D.a<-3或a>6$

分析:由题可知,(f'(x)=3x^2+2ax+(a+6))

因为函数有极大值和极小值,所以方程 (f'(x)=0) 有两个不相等的实数根,

(3x^2+2ax+(a+6)=0) 有两个不相等的实数根, 即(Delta>0),则((2a)^2-4 imes 3 imes(a+6)>0)

解得: (a<-3)(a>6),故选 (D)

[解后反思] 本题考查导数在求函数极值的应用,将函数有极大值和极小值,转化为方程 (f^{prime}(x)=0) 有两个不相等的实数根是解题的关键。

若函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a) 的图像与 (x) 轴有三个不同的交点,则实数(a) 的取值范围是___________.

分析:由于(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1))

故当(xin (-infty,-1))((3,+infty))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增,

(xin(-1,3))时,(f'(x)<0)(f(x)) 单调递诚,

(f(x)_{ ext{极大}}=f(-1)=cfrac{5}{3}-3a)(f(x)_{ ext{极小}}=f(3)=-9-3a),

(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a) 的图像与 (x) 轴有三个不同的交点,

所以 (left{egin{array}{l}cfrac{5}{3}-3a>0\-9-3a<0end{array} ight.),解得(ain(-3, cfrac{5}{9})).

[解后反思]:函数的零点个数问题或方程解的个数问题,可借助函数的导数符号,得到函数的单调性,再数形结合求得参数的取值范围。

【2020高三文数训练题】若函数(f(x)=ax^{3}+3x^{2}-x) 恰好有三个单调区间,则实数(a)的取值范围是_____________.

解析:由题意知 (f'(x)=3ax^{2}+6x-1)

由函数 (f(x)) 恰好有三个单调区间,

(f'(x))有两个不相等的变号零点,

故需满足(a eq 0),且 (Delta=36+12a>0)

解得(a>-3),所以实数 (a) 的取值范围是 ((-3,0) cup(0,+infty))

故答案 (:(-3,0) cup(0,+infty))

延申阅读

导数中的常见题型和破解思路01

导数中的常见题型和破解思路02

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