函数单调性的应用

前言

应用角度

• 利用单调性比较大小

【构造函数+大小比较】已知(f(x))是定义在((0，+infty))上的函数，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，记(a=cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}})，(b=cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2})，(c=cfrac{f(log_25)}{log_25})，则【(qquad)】

$A.a < b < c$ $B.b < a < c$ $C.c < a < b$ $D.c < b < a$

分析：注意到(a，b，c)的结构，由题目猜想：要构造的函数是(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，

那么是否正确，以下做以验证。

令(0< x_1< x_2)，则由单调性定义的等价形式可得，

(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=cfrac{cfrac{f(x_1)}{x_1}-cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)})

由题目，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2} >0)，

则可知(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2} >0)，即函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})是单调递增的，

故题目需要我们比较(g(3^{0.2}))，(g(0.3^2))，(g(log_25))这三个的大小关系，

只需要比较自变量的大小就可以了；

由于(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=sqrt{3} <2)，(0 < 0.3^2=0.09 <1)，(log_25 > log_24=2)，

故(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25))，即(b < a < c)。故选(B).

【2020年全国卷Ⅱ卷理数第11题文数第12题】若(2^x-2^{y}<3^{-x}-3^{-y})，则【(qquad)】

$A.ln (y-x+1)>0$ $B.ln (y-x+1)<0$ $C.ln|x-y|>0$ $D.ln|x-y|<0$

分析：要顺利解答本题目，需要先将原不等式作等价转化，(2^x-3^{-x}<2^{y}-3^{-y})，

这样我们就能看到上述不等式的两端，是同结构的，故想到构造函数，

解析：令(f(t)=2^t-3^{-t})，则(tin R)，且(f(t))在(tin R)上单调递增(y)(=)(2^t)为增函数，(y)(=)(-3^{-t})为增函数，增+增=增，故(f(t))(=)(2^t)(-)(3^{-t})为增函数。单调性的给出方式，

故原不等式等价于(f(x)<f(y))，由(f(t))单调递增，得到(x<y)，

故(y-x>0)，(y-x+1>1)，则(ln(y-x+1)>0)；故选(A)；

【2020年新课标Ⅰ理科数学第(12)题】【上例的延申题】 若 (2^{a}+log_{2}a=4^{b}+2log_{4}b)， 则 【(qquad)】

$A.a > 2b$ $B.a < 2b$ $C.a > b^2$ $D.a < b^2$

解析：因为 (2^{a}+log _{2} a=4^{b}+2 log _{4} b=2^{2 b}+log _{2}b)，

又由于 (2^{2b}+log_{2}b<2^{2b}+log_{2}2b=2^{2b}+log_{2}b+1)，

故 (2^{a}+log_{2}a<2^{2b}+log_{2}2b)，

此时令 (f(x)=2^{x}+log_{2}x)， 则上述条件变化为 (f(a)<f(2b))这样就能利用新构造的函数的性质比较大小，此时主要用到定义域和单调性。(quad)，

由指对数函数的单调性可得 (f(x)) 在 ((0,+infty)) 内单调递增，且 (f(a)<f(2b))，

则得到 (a<2b)，故选：(B) .

• 利用单调性求解不等式

【2020(cdot)高三文科练习】【具体函数】已知函数(f(x)=lnx+2^x)，若(f(x^2-4)<f(1))，则实数(x)的取值范围是______。

分析：函数的定义域为((0，+infty))，且在定义域上单调递增，故由(f(x^2-4)<f(1))，

得到(left{egin{array}{l}{x^2-4>0}\{x^2-4<1}end{array} ight.) 解得(-sqrt{5}<x<-2)或(2<x<sqrt{5})，

故填写((-sqrt{5}，2)cup(2，sqrt{5}))。

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第16题】【抽象函数】已知定义在实数集(R)上的函数(f(x))满足(f(1)=4)，且(f(x))的导函数(f'(x)<3)，则不等式(f(lnx)>3lnx+1)的解集为______。

分析：我们先用整体思想将需要求解的不等式中的(lnx)理解为一个整体，这样原不等式就变形为(f(t)>3t+1)，

此时我们用(左-右)，做差构造新函数。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】

令(g(x)=f(x)-3x-1)，于是(g'(x)=f'(x)-3)，由已知条件(f'(x)<3)，则可知(g'(x)<0)，

这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数(g(x))在(R)上单调递减，

又(g(1)=f(1)-3 imes 1-1=f(1)-4=0)，

到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在(R)上单调递减，且有唯一的零点为(x=1)，

故由(g(x)>0)可以得到解为(x<1)，由(g(x)<0=g(1))可以得到解为(x>1)，

现在(f(lnx)>3lnx+1)等价于(g(lnx)>0)，故得到(lnx<1)，

解得(0<x<e)，故解集为((0，e))。

解后反思：本题目涉及构造函数的方法，是个难题；为什么这样的题目比较难？原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题，而本题目需要我们主动构造函数，在数学的应用意识上有相当高的要求；在上例中我们发现，只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造，那么我们自然就会问：

• 利用单调性求参数的取值范围

已知(a>0)，函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} (3-a)x-3 &xleq 7 \ a^{x-6} &x>7 end{cases})，函数(f(x))在(R)上单调递增，求(a)的取值范围。

分析：由题目可知，(egin{cases} &3-a>0 ① \ &a>1 ②\ &(3-a)7-3leq a^{7-6}③end{cases})；即(egin{cases}&a<3 \ &a>1 \ &age cfrac{9}{4}end{cases})

解得：(ain[cfrac{9}{4}，3))；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域(R)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

已知(a>0)，数列({a_n})满足(a_n = egin{cases} &(3-a)n-3 &nleq 7 \ &a^{n-6} &n>7 end{cases})，数列({a_n})是单调递增数列，求(a)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，(egin{cases} 3-a>0，\ a>1，\ (3-a)7-3<a^{8-6}，end{cases})，解得：(ain(2，3))

感悟反思：1、本题目和上例非常类似，但是又不一样，原因是数列是特殊的函数，所以在③中不等式的两端的自变量的取值不一样，而且不能取等号。

2、如果是一般的函数(f(x))，则比较点(A)和点(C)的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点(A)和点(B)的函数值的大小关系；