前言
夹逼定理在高中阶段的应用，我们可以理解成是用不等关系来变相、晦涩地给出相等关系。
典例剖析
分析：对题目中的部分条件的解读，
“当(x_1<x_2)时，都有(f(x_1)leqslant f(x_2))，则称函数(f(x))在(D)上为非减函数” ，其实就是过去所说的非严格单调递增函数，其体现在图像上，说明图像总体上是上升的，其间可以出现水平线段的情形；现行教材中，“当(x_1<x_2)时，都有(f(x_1)< f(x_2))，则称函数(f(x))在(D)上为单调[严格单调]递增函数” ，其体现在图像上，说明图像总体上是上升的，其间不可以出现水平线段的情形；
③ (f(1-x)=1-f(x))，即 (f(1-x)+f(x)=1)，刻画的是函数的对称性，说明函数是中心对称函数，对称中心为 ((-cfrac{1}{2},cfrac{1}{2}))；
解析：由于 (f(0)=0)，(f(1-x)=1-f(x))，令(x=0)，则得到(f(1)=1)，
令(x=cfrac{1}{2})，则 (f(cfrac{1}{2})=1-f(cfrac{1}{2}))，得到 (f(cfrac{1}{2})=cfrac{1}{2})，
又由于(f(cfrac{x}{3})=cfrac{1}{2}f(x))，令(x=1)，则得到 (f(cfrac{1}{3})=cfrac{1}{2}f(1)=cfrac{1}{2})；
再令(x=cfrac{1}{2})，由(f(cfrac{x}{3})=cfrac{1}{2}f(x))，则得到 (f(cfrac{1}{6})=cfrac{1}{2}f(cfrac{1}{2})=cfrac{1}{4})；
再令(x=cfrac{1}{3})，由(f(cfrac{x}{3})=cfrac{1}{2}f(x))，则得到 (f(cfrac{1}{9})=cfrac{1}{2}f(cfrac{1}{3})=cfrac{1}{4})；
由于 (cfrac{1}{9}<cfrac{1}{8}<cfrac{1}{6})，由非减函数的定义可知，必有
(f(cfrac{1}{9})leqslant f(cfrac{1}{8})leqslant f(cfrac{1}{6}))，即 (cfrac{1}{4}leqslant f(cfrac{1}{8})leqslant cfrac{1}{4})，
故 (f(cfrac{1}{8})=cfrac{1}{4})，则 (f(cfrac{1}{3})+f(cfrac{1}{8})=cfrac{1}{2}+cfrac{1}{4}=cfrac{3}{4})，故选 (C) .
【解析】：由题意得：(f(-2)=4a-2b+c=0①)，
因为不等式(2x≤f(x)≤cfrac{1}{2}x^2+2)对一切实数(x)都成立，
令(x=2)，得：(4≤f(2)≤4)，所以(f(2)=4)，即(4a+2b+c=4②)
由①②解得：(b=1，且c=2-4a，)
所以(f(x)=ax^2+x+2-4a)，
由题意得：(f(x)-2x≥0)且(f(x)-cfrac{1}{2}x^2-2≤0)对(x∈R)恒成立，
即(egin{cases}ax^2-x+2-4age 0③\(a-cfrac{1}{2})x^2+x-4aleq 0 ④end{cases})对(xin R)恒成立，
对③而言，由(a>0)且(Delta =1-4a(2-4a)leq 0)，
得到((4a-1)^2leq 0)，所以(a=cfrac{1}{4})，经检验满足④，
故函数(f(x))的解析式为(f(x)=cfrac{1}{4}x^2+x+1)。
解后反思：注意由(4leq f(2)leq 4)得到(f(2)=4)的结论的使用，即夹逼定理，或者理解为用不等关系给出相等关系。
教材应用
(3^{pi})的值是个实数，也使用的是夹逼定理。