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参考答案
典例解析
解析:由题可知,切比雪夫直线为 (y=x+b),系数 (b) 待定,曲线为 (f(x)=x^2), (xin [-1,2])
令 (g(x)=|x^2-x-b|),则有
则 (E=maxlimits_{-1leqslant xleqslant 2}|x^2-x-b|=maxlimits_{-1leqslant xleqslant 2}|(x-cfrac{1}{2})^2-b-cfrac{1}{4}|=h(x)),
由于函数的最大值可能在左右端点处取到,此时 (E=h(x)=g(-1)=2-b),也可能在对称轴处取到,此时 (E=h(x)=g(cfrac{1}{2})=b+cfrac{1}{4}),
其中由 (2-b=b+cfrac{1}{4}),可以求得 两个最值相等的临界值为 (b=cfrac{7}{8}),
故 (E=h(x)=left{egin{array}{l}2-b,&bleqslantcfrac{7}{8}\b+cfrac{1}{4},&b>cfrac{7}{8}end{array} ight.)
接下来求解函数 (h(x)) 的最小值点,由分段函数可得,
在 (bleqslant cfrac{7}{8}) 时,(h(x)_{min}=cfrac{9}{8}),当 (b>cfrac{7}{8}) 时,(h(x)_{min}=cfrac{9}{8}),
故函数 (h(x)) 的最小值点为 (b=cfrac{7}{8}),故 (b=cfrac{7}{8}),故选 (C) .
(1). 求函数 (f(x)) 的最小正周期;
(2). 在 (Delta ABC) 中,内角 (B) 满足 (f(B)=-2), 且 (BC=4), (overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{AC}=8), 求 (Delta ABC) 的周长.
解析:当求得 (b^2+c^2=32)以后,找不到另外一个独立的方程,此时应该这样想,需要用余弦定理或正弦定理得到关于 (b) 和 (c)的一个方程。
比如用余弦定理, (b^2=a^2+c^2-2cdot acdot ccdotcos B),
(1)求函数 (f(x)) 的最大值;
解析: (f'(x)=cfrac{2}{x}-2x=cfrac{2(1-x^{2})}{x}(x>0)),
当 (x in(0,1)) 时, (f'(x)>0), 函数 (f(x)) 在此区间上是增加的;
当 (x in(1,+infty)) 时, (f'(x)<0), 函数 (f(x)) 在此区间上是减少的,
所以,当 (x=1) 时,函数 (f(x)) 取得唯一极大值 (f(1)=0),
所以函数 (f(x)) 的最大值为 (0).
(2)证明 (: 3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2 n+1}{n^{2}}>2ln(n+1)(n in N^{*})).
【证法1】: 由(1)可知,当 (x>1) 时, (f(x)<0), 即 (2 ln x<x^{2}-1),
令 (x=cfrac{n+1}{n}(nin N^{*})), 则 (2lncfrac{n+1}{n}<(cfrac{n+1}{n})^{2}-1=cfrac{2n+1}{n^{2}})
即 (cfrac{2n+1}{n^{2}}>2lncfrac{n+1}{n}),
所以 (3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2n+1}{n^{2}}>2(lncfrac{2}{1}+lncfrac{3}{2}+cdots+lncfrac{n+1}{n})),
(=2[(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+cdots+(ln (n+1)-ln n)]=2ln(n+1)(nin N^{*}))
故 (3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2n+1}{n^{2}}>2ln(n+1)) ((nin N^{*})), 证毕.
【证法2】:由常用的不等关系 (e^x>x+1) ((x>0)) 开始证明,
令(g(x)=e^x-x-1),则 (g'(x)=e^x-1),由于 (x>0) ,则 (g'(x)>0),
故函数 (g(x)) 在区间 ((0,+infty)) 上单调递增,故 (g(x)>g(0)),即 (e^x>x+1),
令 (x=cfrac{2n+1}{n^2}>0) ,则 (e^{cfrac{2n+1}{n^2}}>cfrac{2n+1}{n^2}+1=cfrac{(n+1)^2}{n^2}),
两边取自然对数得到,(cfrac{2n+1}{n^2}>lncfrac{(n+1)^2}{n^2}=2ln(n+1)-2ln n)
给 (n)分别赋值(n=1),(2),(3),(cdots),(n),得到
以上 (n) 个式子累加,得到
(3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2n+1}{n^{2}}>2ln(n+1)) ((nin N^{*})).
【证法3】:理科学生还可以利用数学归纳法证明;