前言
在高中数学中，经常会碰到求线段长度或者直线与曲线相交得到的弦的长度，所用到的求解公式与所处的坐标系和采用的方法都有关。
弦长公式1
【公式】：(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)， 推导过程[1]
【使用条件】：在直角坐标系下使用，针对直线的普通方程和曲线的普通方程，说明：(k) 为直线的斜率，直线和曲线的交点为 (A(x_1，y_1)) ， (B(x_2，y_2)) ；
设直线和圆的交点为(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2))，
联立得到方程组，(left{egin{array}{l}{2x-y-3=0}\{x^2+y^2-4y-12=0}end{array} ight.)
消去(y)得到，(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0)，整理得到，(5x^2-20x+9=0)，
由韦达定理得到，(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=cfrac{9}{5})，
由弦长公式得到，(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)(=sqrt{1+2^2}sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})
(=sqrt{5}sqrt{16-cfrac{36}{5}}=2sqrt{11})。
弦长公式2
【公式】：(|AB|=|t_1-t_2|)，可以类比一维数轴上的两点间的距离公式来理解；
【使用条件】： 在直角坐标系下，针对直线的参数方程和曲线的普通方程使用，还要注意直线的参数方程在使用时必须验证其是否为标准形式。说明：其中点 (A)，(B) 为直线和曲线的交点，直线上的点 (A)，(B) 所对应的参数分别为 (t_1)和 (t_2) .
解析：将直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=-cfrac{sqrt{3}}{2} t\y=2+cfrac{t}{2}end{array} ight.) ((t) 为参数)代人曲线方程 (y^{2}-3 x^{2}=0)，
得 (t^{2}-t-2=0)，解得 (t_{1}=2)， (t_{2}=-1)，
由参数的儿何意义知，截得的线段长为 (|t_1-t_2|=|2-(-1)|=3).
解析：直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=1+2t\y=3tend{array} ight.) 可以化成 (left{egin{array}{l}x=1+cfrac{2}{sqrt{13}}(sqrt{13}t)\y=cfrac{3}{sqrt{13}}(sqrt{13} t)end{array} ight.,)
将直线方程 (left{egin{array}{l}x=1+2t\y=3 tend{array} ight.,) 代人 (y^{2}=3x)，
得 (3t^{2}-2t-1=0)， 解得 (t_{1}=-cfrac{1}{3}, t_{2}=1)，
由参数的儿何意义知,所得的弦长为 (sqrt{13}|t_{2}-t_{1}|=cfrac{4sqrt{13}}{3}).
弦长公式3
【公式】(AB=sqrt{ ho_{_{A}}^2+ ho_{_{B}}^2-2cdot ho_{_{A}}cdot ho_{_{B}}cdotcos( heta_1- heta_2)} ①) 或 (|AB|=| ho_{_{A}}- ho_{_{B}}| ②)
【使用条件】 在极坐标系下使用，且直线和曲线的方程形式都是极坐标方程；其中点 (A( ho_{_{A}}, heta_1)) ， (B( ho_{_{B}}, heta_2)) ，公式 ① 其实就是由三角形余弦定理得到的，公式 ② 是公式 ① 的特例，当点 (O)，(A)，(B)三点共线时，( heta_1= heta_2)[点 (A) ， (B) 在点 (O) 的同侧，如下图左]或( heta_1=pi+ heta_2)[点 (A) ， (B) 在点 (O) 的两侧，如下图右]，此时都可以将公式 ① 简化为公式 ② ；本来公式 ② 不应该单列出来，但是实际考察中，使用更多的是公式 ② ，故单列便于记忆和比较。[极坐标系中点的坐标可以 ( ho<0) ]
补充说明：如上图左，当点 (A) ， (B) 在点 (O) 的同侧时，( heta_1= heta_2)，代入①式，容易得到 (|AB|=| ho_{_{A}}- ho_{_{B}}|)；
如上图右，当点 (A) ， (B) 在点 (O) 的两侧时，由于极坐标系中点的坐标的不唯一性，点 (B) 的坐标既可以是 (B( ho_{_{B}}, heta_{_{B}}))，也可以是 (B( ho_{_{B}}, heta_{_{A}}))，此时 ( ho_{_{B}}<0)，可以依托数轴上的两点的距离公式，得到 (|AB|=| ho_{_{A}}- ho_{_{B}}|)；
(1). 求曲线 (C_{2}) 的极坐标方程；
解析：设 曲线 (C_1) 上的任一点的极坐标为 (P( ho_1, heta_1))，旋转后对应曲线 (C_{2}) 上的点的极坐标为 (P'( ho, heta))，
则 (left{egin{array}{l} ho= ho_1\ heta= heta_1+cfrac{2pi}{3}end{array} ight.)，故有(left{egin{array}{l} ho_1= ho\ heta_1= heta-cfrac{2pi}{3}end{array} ight.)，
由于(( ho_1, heta_1)) 在 曲线(C_{1})上， 即 (( ho, heta-cfrac{2pi}{3})) 满足曲线 (C_{1})方程，
故 ( ho=4sin( heta-cfrac{2 pi}{3}))，即曲线 (C_{2}) 的极坐标方程为 ( ho=4sin( heta-cfrac{2pi}{3})).
(2)若直线 (l: heta=alpha( hoin R)) 与 (C_{1})， (C_{2}) 分别相交于异于极点的 (A)，(B) 两点，求 (|AB|) 的最大值.
解析： 设 (A( ho_{A},alpha))， (B( ho_{B},alpha))，
则 (|AB=| ho_{A}- ho_{B}|=|4sinalpha-4sin(alpha-cfrac{2pi}{3})|=|6sinalpha+2sqrt{3}cos a|)
(=4sqrt{3}|sin(alpha+cfrac{pi}{6})|leqslant 4sqrt{3})，
当且仅当 (alpha=cfrac{pi}{3})时，等号成立，
故 (|AB|) 的最大值为 (4sqrt{3}).
(1). 以坐标原点为极点，(x) 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 (C) 的极坐标方程。
分析：由于极坐标方程中只有 ( ho) 和 ( heta)，
故只要将(x= hocdot cos heta)和(y= hocdot sin heta)代入圆(C)的直角坐标方程为((x+6)^2+y^2=25)，
整理可得( ho^2+12 ho cos heta+11=0)。
(2). 直线 (l) 的参数方程为 (egin{cases} x=tcdot cosalpha \ y=tcdot sinalpha end{cases}(t为参数))， (l) 与 (C) 交于 (A) 、 (B) 两点，(|AB|=sqrt{10})，求直线 (l) 的斜率。
【法1】：极坐标法，由于此次为重点介绍极坐标的用法，故将此方法排在前面。
圆(C)的极坐标方程是( ho^2+12 ho cos heta+11=0)。
将直线的参数方程两式相除得到，(y=tanalpha x)，即(y=kx)，
则直线的极坐标方程为( heta=alpha( hoin R))
将直线的极坐标方程代入圆(C)的极坐标方程是( ho^2+12 ho cos heta+11=0)，
得到圆(C)的极坐标方程是( ho^2+12 ho cosalpha+11=0)，
设点(A)的极坐标方程为(( ho_1，alpha))，点 (B) 的极坐标方程为(( ho_2，alpha))，
则( ho_1+ ho_2=-12cosalpha)，( ho_1cdot ho_2=11)，
由(|AB|=| ho_1- ho_2|= sqrt{( ho_1+ ho_2)^2-4 ho_1 ho_2}=sqrt{10})，
解得(cos^2alpha=cfrac{54}{144}=cfrac{3}{8})，
又由图可知(alphain [0，pi))，故(cosalpha=pmcfrac{sqrt{6}}{4})，
则有(sinalpha=cfrac{sqrt{10}}{4})
故(tanalpha=cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{cfrac{sqrt{10}}{4} }{pmcfrac{sqrt{6}}{4}} =pmcfrac{sqrt{15}}{3})。
故直线(l)的斜率为(pmcfrac{sqrt{15}}{3})。
【法2】参数方程法，
分析：本题目的求解要用到直线的参数方程的几何意义。
将直线(l)的参数方程代入圆(C)的直角坐标方程，化简整理为(t^2+12t cosalpha+11=0)，
可设点(A、B)分别对应参数(t_1，t_2)，则(egin{cases} t_1+ t_2=-12cosalpha\t_1 imes t_2=11end{cases})，
(|AB|=|t_1-t_2|= sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=sqrt{10})，
解得(cos^2alpha=cfrac{54}{144}=cfrac{3}{8})，
又由图可知(alphain [0，pi))，故(cosalpha=pmcfrac{sqrt{6}}{4})，则有(sinalpha=cfrac{sqrt{10}}{4})
故(tanalpha=cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{frac{sqrt{10}}{4} }{pmfrac{sqrt{6}}{4}} =pmcfrac{sqrt{15}}{3})。
故直线(l)的斜率为(pmcfrac{sqrt{15}}{3})。
【法3】平面几何法，如图所示，这样的直线应该有两条，且其斜率互为相反数，现重点求解图中的直线(AB)的斜率，
在(RtDelta BCD)中，半径为(BC=5)，半弦长为(BD=cfrac{sqrt{10}}{2})，
利用勾股定理求得，弦心距(CD=cfrac{3sqrt{10}}{2})
在(RtDelta OCD)中，(OC=6)，(CD=cfrac{3sqrt{10}}{2})
求得(cosangle OCD=cos heta=cfrac{sqrt{10}}{4})
从而(sinalpha=cfrac{sqrt{10}}{4})，(cosalpha=cfrac{sqrt{6}}{4})，
即(k=tanalpha=cfrac{sqrt{10}}{sqrt{6}}=cfrac{sqrt{15}}{3})，
故满足条件的直线(AB)有两条，其斜率为(pmcfrac{sqrt{15}}{3})。
设直线方程为(y=kx+b)，两个交点为点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))；
则由平面内任意两点间的距离公式可得，
(|AB|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=sqrt{(x_1-x_2)^2+[(kx_1+b)-(kx_2+b)]^2})
(=sqrt{(x_1-x_2)^2+k^2(x_1-x_2)^2}=sqrt{1+k^2}cdot sqrt{(x_1-x_2)^2})
(=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)
即弦长公式：(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)
(|AB|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=sqrt{(frac{y_1-b}{k}-frac{y_2-b}{k})^2+(y_1-y_2)^2})
(=sqrt{frac{(y_1-y_2)^2}{k^2}+(y_1-y_2)^2}=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot sqrt{(y_1-y_2)^2})
(=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot |y_1-y_2|)
即弦长公式：(|AB|=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot |y_1-y_2|)
故弦长公式：(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot |y_1-y_2|)
具体使用时，如下所示，为了和韦达定理相联系。
(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{ |x_1-x_2|^2})(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2})(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2})(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})
(|AB|=sqrt{1+(cfrac{1}{k})^2}cdotsqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}) ↩︎