参数方程消参法习题

前言

认清参数，选取方法，按步骤消参，注意消参前后曲线的对应性。

判断参数方程 (left{egin{array}{l}x=cfrac{1+4t+t^2}{1+t^2} \y=cfrac{6+2t^2}{1+t^2} end{array} ight.) ((t) 为参数) 表示的曲线形状.

解答： 由题可知，(left{egin{array}{l}x=cfrac{1+4t+t^{2}}{1+t^{2}}=1+cfrac{4 t}{1+t^{2}}， ①\ y=cfrac{6+2t^{2}}{1+t^{2}}=2+cfrac{4}{1+t^{2}}，②end{array} ight.)

由 ① 得 (x-1=cfrac{4t}{1+t^{2}}) ，③

由 ② 得 (y-2=cfrac{4}{1+t^{2}}) ，④

(③div ④)，得到 (cfrac{x-1}{y-2}=t)， 代入 ④， 得到

((x-1)^{2}+(y-4)^{2}=4)

由 ④ 知 (cfrac{4}{1+t^{2}}>0)， 所以 (y>2),

所以参数方程的普通方程为((x-1)^{2}+(y-4)^{2}=4(2<y leqslant 6))， 不包括点 ((1,2)).

直线型消参

【北师大选修教材4-4 (P_{_{53}})复习题二(A)组第11题(5)】将参数方程 (left{egin{array}{l}x=cfrac{1-t}{1+t} ①\y=cfrac{2t}{1+t} ②end{array} ight.) ((t) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

法1：代入消元法， 由①得到，(t=cfrac{1-x}{x+1})，

代入②式，得到，(y=cfrac{2 imesfrac{1-x}{x+1}}{1+frac{1-x}{x+1}}=1-x)，即(x+y-1=0)；

又由于 (x=cfrac{1-t}{1+t}=-1+cfrac{2}{1+t})，故(x eq -1)，则(y eq 2)，

即参数方程化为普通方程为 (x+y-1=0)，(x eq -1)；

故其刻画的是一条直线，其中不包括点((-1,2))。

法2：加减消元法，由于(x=cfrac{1-t}{1+t}=cfrac{-t-1+2}{1+t}=-1+cfrac{2}{1+t})，

(y=cfrac{2t}{1+t}=cfrac{2t+2-2}{1+t}=2-cfrac{2}{1+t})，

故将参数方程变形为 (left{egin{array}{l}x=-1+cfrac{2}{1+t} \y=2-cfrac{2}{1+t} ②end{array} ight.)

两式相加，得到，(x+y=1)，即(x+y-1=0)，

又由于 (x=cfrac{1-t}{1+t}=-1+cfrac{2}{1+t})，故(x eq -1)，则(y eq 2)，

即参数方程化为普通方程为 (x+y-1=0)，(x eq -1)；

故其刻画的是一条直线，其中不包括点((-1,2))。

圆型消参

【北师大选修教材4-4 (P_{_{43}}) (B)组第1题】求动点 (A(sin heta+cos heta,sin heta-cos heta)) (( heta)为参数)的轨迹方程；

法1：由题目可知， (left{egin{array}{l}x=sin heta+cos hetaquad①\y=sin heta-cos hetaquad②end{array} ight.)

将两式平方再相加，得到 (x^2+y^2=2)。

法2：反解法，由(left{egin{array}{l}x=sin heta+cos hetaquad①\y=sin heta-cos hetaquad②end{array} ight.)

反解得到 (sin heta=cfrac{x+y}{2})，(cos heta=cfrac{x-y}{2})，

由 (sin^2 heta+cos^2 heta=1)，得到 ((cfrac{x+y}{2})^2+(cfrac{x-y}{2})^2=1).

整理得到， (x^2+y^2=2)。

【北师大选修教材4-4 (P_{_{43}}) (A)组第2题】求圆 (left{egin{array}{l}x=3sinvarphi+4cosvarphi,\y=4sinvarphi-3cosvarphi end{array} ight.) ((varphi) 为参数)的半径.

解析：由(left{egin{array}{l}x=3sinvarphi+4cosvarphi ①\y=4sinvarphi-3cosvarphi ② end{array} ight.) ，

两式平方相加，(①^2+②^2)，得到

(x^2+y^2=9sin^2varphi+24sinvarphicosvarphi+16cos^2varphi+16sin^2varphi-24sinvarphicosvarphi+9cos^2varphi)

(x^2+y^2=25sin^2varphi+25cos^2varphi=25)，

即(x^2+y^2=5^2)，故半径为 (r=5).

【北师大选修教材4-4 (P_{_{53}})复习题二(A)组第11题(4)】将参数方程 (left{egin{array}{l}x=cfrac{1-t^2}{1+t^2} ① \y=cfrac{2t}{1+t^2} ② end{array} ight.) ((t) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析： (①^2+②^2)，得到 (x^2+y^2=1)，

又由于 (-1<x=cfrac{1-t^2}{1+t^2}leqslant 1)

即 (x^2+y^2=1)，((x eq -1))；

故曲线为圆心在 ((0,0))，半径为(1)的圆，不包括圆上的点((-1,0))。

[补充说明]：本题目涉及到的参数方程其实与三角函数的万能公式相关，令 (t= anfrac{ heta}{2})，

则 (sin heta=2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=cfrac{2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}}{sin^2cfrac{ heta}{2}+cos^2cfrac{ heta}{2}}=cfrac{2 ancfrac{ heta}{2}}{1+ an^2cfrac{ heta}{2}}=cfrac{2t}{1+t^2}) ；

(cos heta=cos^2cfrac{ heta}{2}-sin^2cfrac{ heta}{2}=cfrac{cos^2cfrac{ heta}{2}-sin^2cfrac{ heta}{2}}{cos^2cfrac{ heta}{2}+sin^2cfrac{ heta}{2}}=cfrac{1- an^2cfrac{ heta}{2}}{1+ an^2cfrac{ heta}{2}}=cfrac{1-t^2}{1+t^2})；

【2021届宝鸡市质检2文理科数学第22题改编】消参求曲线 (C：left{egin{array}{l}x=4cos heta+sinvarphi,\y=3sin heta+cosvarphiend{array} ight.) ((varphi) 为参数)的普通方程.

解析：首先移项，得到 (left{egin{array}{l}x-4cos heta=sinvarphi,\y-3sin heta=cosvarphiend{array} ight.)，

再两边平方，相加得到，((x-4cos heta)^2+(y-3sin heta)^2=1)，

即普通方程为((x-4cos heta)^2+(y-3sin heta)^2=1)，刻画的是圆心在动点 ((4cos heta,3sin heta))，半径为 (1) 的圆；

[引申提问]圆心在什么曲线上运动？

设圆心坐标为 ((m,n))，则可得到圆心的参数方程如下，

由(left{egin{array}{l}m=4cos heta\n=3sin hetaend{array} ight.) (( heta) 为参数)，

分别化为分数，得到(left{egin{array}{l}cfrac{m}{4}=cos heta\cfrac{n}{3}=sin hetaend{array} ight.)

平方相加得到，(cfrac{m^2}{4^2}+cfrac{n^2}{3^2}=1)，

即动圆心在中心为 ((0,0))，长轴为 (8)，短轴为(6)，焦点在横轴上的椭圆上运动。

【北师大选修教材4-4 (P_{_{53}})复习题二(A)组第11题(6)】将参数方程 (left{egin{array}{l}x=cfrac{2}{1+t^2} ①\y=cfrac{2t}{1+t^2} ②end{array} ight.) ((t) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：两式相比，得到 (cfrac{x}{y}=cfrac{1}{t})，则 (t=cfrac{y}{x})，

代入①式，得到 (x=cfrac{2}{(frac{y}{x})^2})，整理得到 (x^2+y^2-2x=0)，

又由于 (x=cfrac{2}{1+t^2})，即 (x eq 0)，则 (y eq 0)，

故所求的普通方程为 (x^2+y^2-2x=0)，且(x eq 0)，

即此曲线为圆心在点 ((1,0)) ，半径为 (1)的圆 ，且挖去点 ((0,0))。

椭圆型消参

【北师大选修教材4-4 (P_{_{53}})复习题二(A)组第11题(4)改编】将参数方程 (left{egin{array}{l}x=cfrac{1-t^2}{1+t^2} \y=cfrac{8t}{1+t^2} end{array} ight.) ((t) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析： 先将参数方程变形为 (left{egin{array}{l}x=cfrac{1-t^2}{1+t^2} ① \cfrac{y}{4}=cfrac{2t}{1+t^2} ② end{array} ight.)

(①^2+②^2)，得到 (x^2+cfrac{y^2}{16}=1)，

又由于 (-1<x=cfrac{1-t^2}{1+t^2}leqslant 1)

即 (x^2+cfrac{y^2}{16}=1)，((x eq -1))；

故曲线为中心在 ((0,0))，长轴为 (8)，短轴为(2)，焦点在 (y) 上的椭圆，但不包括椭圆上的点((-1,0))。

【北师大选修教材补充】消参求曲线 (C：left{egin{array}{l}x=2cos heta+3sin heta,\y=2cos heta-3sin hetaend{array} ight.) (( heta) 为参数)的普通方程.

解析：将两式相加减，反解得到 (cos heta=cfrac{x+y}{4})， (sin heta=cfrac{x-y}{6})，

由 (sin^2 heta+cos^2 heta=1)，得到 ((cfrac{x+y}{4})^2+(cfrac{x-y}{6})^2=1). [椭圆]

双曲线型消参

【北师大选修教材4-4 (P_{_{53}})复习题二(A)组第11题(1)】将参数方程 (left{egin{array}{l}x=sqrt{t^2+2t+3}①\y=sqrt{t^2+2t+2}② end{array} ight.) ((t) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：由于 (x=sqrt{t^2+2t+3}=sqrt{(t+1)^2+2}geqslant sqrt{2})，

(y=sqrt{t^2+2t+2}=sqrt{(t+1)^2+1}geqslant 1)，

则(①^2-②^2)，得到 (x^2-y^2=1)，(xgeqslant sqrt{2})，(ygeqslant 1)，

故曲线的普通方程为 (x^2-y^2=1)，((xgeqslant sqrt{2})，(ygeqslant 1))，为双曲线的一部分；

【北师大选修教材4-4 (P_{_{53}})复习题二(A)组第11题(3)】将参数方程 (left{egin{array}{l}x=t+cfrac{1}{t}-1\y=t-cfrac{1}{t}+1end{array} ight.) ((t) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：将参数方程变形为 (left{egin{array}{l}x+1=t+cfrac{1}{t} ①\y-1=t-cfrac{1}{t}②end{array} ight.)

则 (①^2-②^2)，得到 ((x+1)^2-(y-1)^2=4)，

即 (cfrac{(x+1)^2}{4}-cfrac{(y-1)^2}{4}=1)，

又由于 (x=t+cfrac{1}{t}-1geqslant 1) 或 (x=t+cfrac{1}{t}-1leqslant -3)，

故曲线为中心在 ((-1,1))，实轴和虚轴都是(4)的等轴双曲线。

抛物线型消参

【北师大选修教材4-4 (P_{_{53}})复习题二(A)组第11题(2)】将参数方程 (left{egin{array}{l}x=sin t+cos t ①\y=sin tcdotcos t② end{array} ight.) ((t) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：给①式平方，得到 (x^2=1+2sin tcdotcos t)，

又(y=sin tcdotcos t)，代入上式，得到，(x^2=1+2y)，

又(x=sin t+cos t=sqrt{2}sin(t+cfrac{pi}{4})in[-sqrt{2},sqrt{2}])，

(y=sin tcdotcos t=cfrac{1}{2}sin2tin [-cfrac{1}{2},cfrac{1}{2}])，

故普通方程为 (x^2=1+2y)，( (xin [-sqrt{2},sqrt{2}]) )，为抛物线的一部分；