分形图与二阶数列

前言

涉及数列类的归纳推理，常常考查二阶等差数列已知数列({a_n})，不是等差数列，但是((a_{n+1})(-)(a_n))(-)((a_n)(-)(a_{n-1}))(=)(d)，(d)为常数，则数列({a_{n+1})(-)(a_n})相对于数列 ({a_n})，就可以称为二阶数列，且其为等差数列，故称为二阶等差数列。(quad)，或二阶等比数列已知数列({a_n})，不是等比数列，但是(cfrac{a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}})(=)(q)，(q)为常数，则数列({a_{n+1})(-)(a_{n}})为原数列({a_n})的二阶等比数列；(quad)，或斐波那契数列斐波那契数列指的是数列 (1),(1),(2),(3),(5),(8),(13),(cdots)，其中(a_{n+1}=a_n+a_{n-1})，(ngeqslant 2)(quad)；

典例剖析

【与斐波那契数列有关的归纳推理】某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为(1，1，2，3，5)，则预计第10年树的分枝数为

$A.21$ $B.34$ $C.52$ $D.55$

分析：本题目涉及到的数列为“斐波那契数列”，

其构成规律为：(a_1=1)，(a_2=1)已知，其他项由递推公式(a_{n+2})(=)(a_{n+1})(+)(a_n)，(nin N^*)得到，

故(a_6=8)，(a_7=13)，(a_8=21)，(a_9=34)，(a_{10}=55)，(a_{11}=89)，故选(D)。

【与二阶等差数列有关的归纳推理】【2018·大庆校级模拟】蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有(1)个蜂巢，第二个图有(7)个蜂巢，第三个图有(19)个蜂巢，按此规律，第(6)幅图的蜂巢总数为【 】

$A.61$ $B.90$ $C.91$ $D.127$

法1：注意到蜂巢个数所成的数列是二阶等差数列，我们可以这样做：

(1stackrel{+6}{longrightarrow}7)； (7stackrel{+2 imes 6}{longrightarrow}19)；(19stackrel{+3 imes 6}{longrightarrow}37)；(37stackrel{+4 imes6}{longrightarrow}61)；(61stackrel{+5 imes6}{longrightarrow}91)；(91stackrel{+6 imes6}{longrightarrow}127)；故选(C)。

法2：利用二阶等差数列和累加法求解；

令蜂巢个数为(f(n))，则(f(1)=1)，(f(2)=7)，(f(3)=19)，(f(4)=37)，由于

(f(2)-f(1)=7-1=1 imes 6)；

(f(3)-f(2)=19-7=2 imes 6)；

(f(4)-f(3)=37-19=3 imes 6)；

(f(5)-f(4)=61-37=4 imes 6)；

$cdots $，

(f(n)-f(n-1)=6 imes (n-1))；

因此，当(nge 2)时，由累加法可知，

(f(n)-f(1)=6 imes [1+2+3+cdots+(n-1)]=3n(n-1))；

故(f(n)=3n^2-3n+1)；

当(n=1)时，(f(1)=1=3 imes1^2-3 imes1+1)，符合上式，

故蜂巢个数为(f(n)=3n^2-3n+1)，

故可以计算(f(6)=91)，当然也可以得到(f(10)=271)；

【与二阶等差数列有关的归纳推理】在平面内有(n(nin N*))条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这(n)条直线把平面分成(f(n))个平面区域，试求(f(1))，(f(2))，(f(3))，(f(4))，(f(5))的值；并总结(f(n))的表达式。

解析：由题意知，则(f(1)=2)，(f(2)=4)，(f(3)=7)，(f(4)=11)，(f(5)=16)，

(f(2)-f(1)=4-2=2)；

(f(3)-f(2)=7-4=3)；

(f(4)-f(3)=11-7=4)；

(f(5)-f(4)=16-11=5)；

$cdots $，

(f(n)-f(n-1)=n)；

因此，当(nge 2)时，由累加法可知，

(f(n)-f(1)=2+3+cdots+n=cfrac{(n+2)(n-1)}{2})

即(f(n)=cfrac{n^2+n+2}{2})

当(n=1)时，(f(1)=2)，也满足上式，

故(f(n)=cfrac{n^2+n+2}{2})。

【与累加法有关的归纳推理】下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第(n)个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为(f(n))．

(1)求出(f(2))，(f(3))，(f(4))，(f(5))；

分析：由题意可知，

(f(1)=3)，

(f(2)=f(1)+3+3 imes 2=12)，

(f(3)=f(2)+3+3 imes 4=27)，

(f(4)=f(3)+3+3 imes 6=48)，

(f(5)=f(4)+3+3 imes 8=75)，

(2)找出(f(n))与(f(n＋1))的关系，并求出(f(n))的表达式．

分析：由题意及(1)可知，

(f(n+1)=f(n)+3+3 imes 2n=f(n)+6n+3)，

即(f(n+1)-f(n)=6n+3)，

则(f(2)-f(1)=6 imes 1+3)，

(f(3)-f(2)=6 imes 2+3)，

(f(4)-f(3)=6 imes 3+3)，

(cdots)，(cdots)，

(f(n)-f(n-1)=6 imes (n-1)+3)，

利用累加法可知，当(nge 2)时，

(f(n)-f(1)=6[1+2+cdots+(n-1)]+3(n-1)=6 imes cfrac{n(n-1)}{2}+3(n-1)=3n^2-3)，

即(f(n)=3n^2)，当(n=1)时，满足上式，

故(f(n)=3n^2(nin N^*))。

【2021届高三文科一轮试题】【分形图】某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为(1)，两两夹角为(120^{circ})；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发，再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为(120^{circ})，(cdots)，依此规律人文得到(n)级分形图.

则 (n) 级分形图中共有__________条线段.

法1：归纳推理，由此分形图的制作过程我们可以得到以下的表达式，用(f(n))表达(n)级分形图的线段条数，则有

(f(1)=3)；

(f(2)=3+6)；

(f(3)=3+1 imes 6+2 imes 6)；

(f(4)=3+1 imes 6+2 imes 6+4 imes 6)；

(f(5)=3+1 imes 6+2 imes 6+4 imes 6+8 imes 6)；

(cdots)，

(f(n)=3+1 imes 6+2 imes 6+4 imes 6+8 imes 6+cdots+2^{n-2} imes 6)；

(=3+6(1+2+2^2+2^3+cdots+2^{n-2})=3+6cfrac{1cdot(2^{n-1}-1)}{2-1}=3 imes 2^n-3)

法2：由此分形图的制作过程我们可以得到以下的表达式，用(f(n))表达(n)级分形图的线段条数，则有

(f(1)=3)；

(f(2)=3+6)；

(f(3)=3+1 imes 6+2 imes 6)；

(f(4)=3+1 imes 6+2 imes 6+4 imes 6)；

(f(5)=3+1 imes 6+2 imes 6+4 imes 6+8 imes 6)；

(cdots)，(cdots)，

对以上数据做加工，得到如下，[其实是个二阶等比数列]

(f(2)-f(1)=1 imes 6=2^0 imes 6)；

(f(3)-f(2)=2 imes 6=2^1 imes 6)；

(f(4)-f(3)=4 imes 6=2^2 imes 6)；

(f(5)-f(4)=8 imes 6=2^3 imes 6)；

(cdots)，(cdots)，

(f(n)-f(n-1)=? imes 6=2^{n-2} imes 6)；

以上(n-1)个式子累加，得到

(f(n)-f(1)=(2^0+2^1+2^2+cdots+2^{n-2}) imes 6=6 imes cfrac{2^{n-1}-1}{2-1}=6(2^{n-1}-1))，

解得， (f(n)=6cdot 2^{n-1}-6+3=3 imes 2^n-3)；