前言
在初中和高中阶段，我们接触和使用的射影定理有以下两种形式。
射影定理1
直角三角形射影定理，又叫欧几里德(Euclid)定理，其内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
符号语言：如图，(Rt riangle ABC)中，(angle BAC=90°)，(AD)是斜边(BC)上的高，则有射影定理如下：
证明：这主要是由相似三角形来推出的，
例如，证明(AD^2=BDcdot DC)，
在( riangle BAD)与( riangle ACD)中，(∠B=∠DAC)，(∠BDA=∠ADC=90°)，
故( riangle BADsim riangle ACD)，所以 (cfrac{AD}{BD}＝cfrac{CD}{AD})，
所以得到，(AD^2=BDcdot DC). 其余仿此证明；
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
比如由公式➋+➌得到，
(AB^2+AC^2=BDcdot BC+CDcdot BC=(BD+CD)BC=BC^2)，
即(AB^2+AC^2=BC^2)，这就是勾股定理的结论。
射影定理2
任意三角形射影定理注释：以“(a)(＝)(bcdotcos C)(＋)(ccdotcos B)”为例，(b)、(c)在(a)上的射影分别为(bcdotcos C)、(ccdotcos B)，故名射影定理。(quad)，又称“第一余弦定理”，其内容为：三角形的任意一边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语言：设( riangle ABC)的三边是(a)、(b)、(c)，它们所对的角分别是(A)、(B)、(C)，则有：
[证法1]：设点(C)在直线(AB)上的射影为点(D)，
则(AC)、(BC)在直线(AB)上的射影分别为(AD)、(BD)，
且(AD=bcdotcos A)，(BD=acdotcos B)，
故(c=AD+BD=bcdotcos a＋acdotcos B). 同理可证其余。
[证法2]：由正弦定理，可得：(b=cfrac{asin B}{sin A})，(c=cfrac{asin C}{sin A})
即(c=cfrac{asin(A+B)}{sin A}=cfrac{a(sin Acos B+cos Asin B)}{sin A})
(=acos B+(cfrac{asin B}{sin A})cos A=acdotcos B＋bcdotcos A). 同理可证其余。
[证法3]：以向量三角形为案例，
给(overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})，两边同乘以向量(overrightarrow{CB})，
得到(overrightarrow{CB}cdotoverrightarrow{CB}=(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})cdotoverrightarrow{CB})，
即(overrightarrow{CB}^2=overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{CB}-overrightarrow{AC}cdotoverrightarrow{CB})
即(overrightarrow{CB}^2=|overrightarrow{AB}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos<overrightarrow{AB},overrightarrow{CB}>-|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos<overrightarrow{AC},overrightarrow{CB}>)
即(overrightarrow{CB}^2=|overrightarrow{AB}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos B>-|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos(pi-C))
即(a^2=ccdot acdotcos B+bcdot acdotcos C)，两边约去(a)，
得到(a=ccdotcos B+bcdotcos C)，即得到射影定理，也称第一余弦定理。
使用场景
引例，如(cfrac{sin^2A+sin^2B-sin^2C}{c}=cfrac{sin Asin B}{acos B+bcos A})，
由射影定理2，将(acdotcos B＋bcdotcos A=c)，代入上式，
即(cfrac{sin^2A+sin^2B-sin^2C}{c}=cfrac{sin Asin B}{c})，
即得到(a^2+b^2-c^2=ab)，接下来的思路自然就通畅无阻了.
典例剖析
解析: 在 ( riangle ABC) 中, (c=a cos B+b cos A)，[射影定理]
联立 (left{egin{array}{l}c=acos B+bcos A \ acos B-bcos A=cfrac{c}{2}end{array} ight.，) 解得(cos A=cfrac{c}{4b})，(cos B=cfrac{3c}{4a})，
所以 (cfrac{acos A+bcos B}{acos B}=cfrac{acdotcfrac{c}{4b}+bcdotcfrac{3c}{4a}}{acdotcfrac{3c}{4a}})
(=cfrac{1}{3}(cfrac{a}{b}+cfrac{3 b}{a})geqcfrac{1}{3} imes 2sqrt{cfrac{a}{b}cdotcfrac{3b}{a}})
(=cfrac{2sqrt{3}}{3})
当且仅当 (cfrac{a}{b}=cfrac{3 b}{a}) 时，等号成立.
故(cfrac{acos A+bcos B}{acos B}) 的最小值为(=cfrac{2sqrt{3}}{3})；